l8o EQ. DIFFER. DU PREM. ORDRE : INTEGRALE GEN. ET SOLUTIONS SINGUL.;
y — F(¿c, j' 0 ), puisqu’elle dépend à la fois de la valeur initiale y 0 et
de l’abscisse variable x. On l’appelle l'intégrale générale de l’équa
tion proposée (i). Ou voit qu’elle représente une famille de courbes
avant pour équation différentielle (t. I, p. 124) la relation donnée,
y 1 = f{x,y), pour paramètre/ 0 , et pour champ les régions du plan
où la fonction f{x,y) admet des valeurs réelles.
L’intégrale générale y = F(¿c,y 0 ) est-elle la seule solution que
comporte l’équation (1) ? En d’autres termes, toute fonction, Y par
exemple, qui, pour x = x 0 , se réduit à y 0 , et dont la dérivée égale à
chaque instant f(x, Y), se confond-elle nécessairement avec la fonc
tion y = F {x, y 0 ), ou peut-elle, au contraire, s’en séparer, du moins
sous certaines conditions? Le simple coup d’œil que nous venons de
jeter sur l’équation (1), et qui nous a montré clairement l’existence
incessante, devant le point mobile, d’un chemin y = F {x, j 0 ) satis
faisant à l’équation (1), ne permet pas de décider si ce chemin est
unique, ou s’il comporte des dédoublements, constitués par des
courbes raccordées entre elles, c’est-à-dire mutuellement tangentes en
leur point de jonction. Mais le fait, pour certaines familles, de
l’existence de lignes, enveloppes ou non, touchées successivement pal
les diverses courbes de ces familles (t. I, p. 216 et 183*), prouve
directement que de telles bifurcations ou séparations d’intégrales
sont quelquefois possibles. Car il suffît que la famille de courbes
y— V(x,y 0 ) possède une enveloppe ou soit, à défaut de celle-ci,
croisée par une ligne tangente à toute la famille, pour que cette enve
loppe ou celte ligne tangente ait, en chacun de ses points {x, y), la
même pente y 1 — /(¿r,/) que l’enveloppée ou la courbe particulière
venue à son contact, et satisfasse, par suite, sur tout son cours, à
l’équation y'—f{x,y) de la famille. Donc l’ordonnée y de cette
ligne, bien que définissant, en général, une fonction de x très dif
férente de toutes celles que comprend la formule y rr= F(¿r, y 0 ), n’en
constitue pas moins une intégrale de l’équation proposée (1). On
l’appelle la solution singulière, pour la distinguer des solutions ou
intégrales particulières que donne l’intégrale générale y=F {x, y 0 )
quand on y attribue à y 0 toutes les valeurs constantes possibles. La
ligne qu’elle représente se sépare, comme on voit, sur tout son cours,
des courbes exprimées par l’intégrale générale, qui viennent, les unes
après les autres, la toucher, c’est-à-dire se joindre à elle pour la
quitter aussitôt.
361*. — Unité de l’intégrale générale.
(Compléments, p.229*.)
