l82 équation différentielle du premier ordre : facteur intégrant; 
fonction : point de vue très naturel; car, si l’on avait adopté telle 
valeur# qu'on veut pour valeur initiale, y aurait pu, à ce moment, 
être choisi à volonté, et c’est alors y 0 , correspondant à la valeur par 
ticulière x 0 de la variable, qui serait devenu fonction tant de la nou 
velle valeur initiale quelconque x de la variable, que de la valeur 
correspondante attribuée à y. Ainsi, tandis que la forme explicite 
y = F (x, y 0 ) suppose que l’on considère, isolément, une certaine 
valeur de x, toujours la même, comme initiale, la forme normale 
cp(x,y) =y 0 , ou, par suite, œ(#, y) — c, représente, au contraire, la 
comparaison ou le rapprochement de toutes les valeurs de x et y qui, 
prises successivement comme initiales, se correspondent pour former 
ensemble une même intégrale de l’équation y'—f{x,y). 
La relation cp(#,y) — c diiTérentiée donnant 
c/cp , d'o 
dy ^ dx ’ 
ou 
si nous remplaçons y' par sa valeur f(x,y), que nous écrirons sim 
plement f, il viendra — Or nous avons vu qu’on peut, dans 
cp (x, y) = c, faire correspondre tour à tour, à chaque valeur de x, 
toutes les valeurs possibles de y, du moins entre les limites où la 
fonction/(x, y) reste réelle. En d’autres termes, la famille cp(#, y) = c 
de courbes couvre avec continuité l’espace, sur le plan des xy, autour 
de chaque point (x, y). C’est donc identiquement, ou pour xely 
quelconques, que le produit des deux fonctions — ^ r — , f{x, y), 
dx 
posée sous la forme y'—f{x,y) = o, équivalente à dy—fdx = o, 
puisqu’on multiplie son premier membre par ^, il viendra V identité 
ou 
une différentielle exacte par rapport à x et à y le premier membre de 
l’équation proposée dy—fdx — o; et il suffirait de connaître ce