186 EQUATIONS DIFFÉRENT. DU PREM. ORDRE : INTEGRATION ET PROPRIETES 
dX, dY. Tel est le cas d’une équation comme 
08) 
& = f( 
dx ^ \ 
'(y — $)-+-a{x—oi) 
Sy~ $)-*-a'(x — a)\ ’ 
en y déterminant a et ¡3 par les deux équations du premier degré 
b — p H- «a, b'—$-\-a'a, compatibles toutes les fois que a' diffère 
de a. Si, au contraire, a' égalait a, la fonction /ne dépendrait que de 
l’expression linéaire y-\-ax, et l’équation proposée s’intégrerait, 
comme on a vu tout à l’heure, en se donnant y -f- ax pour fonction 
inconnue. 
368. — Deuxième type : équation linéaire; équation de Bernoulli, etc. 
On appelle, en général, équations linéaires les équations qui sont 
du premier degré par rapport aux fonctions inconnues et à leurs 
dérivées, tout en pouvant être d’un degré quelconque, ou même 
transcendantes, par rapport aux variables indépendantes. D’après 
cette définition, l’équation différentielle linéaire du premier ordre 
sera évidemment réductible à la forme 
(19) jy'-4- Py — Q ou dy -+- Py dx — Q dx, 
P et Q désignant deux fonctions quelconques de x seul. 
Supposons d’abord qu’elle soit, comme on dit, privée de second 
membre, ou qu’on ait Q = o. Alors la valeur, — Py, de y' égalera le 
produit d’une fonction, — P, de æ par une fonction, y, de y, et les 
variables se sépareront. En divisant la seconde (19) par y et inté 
grant, il viendra, si loge désigne la constante arbitraire introduite, 
On trouve donc y — ce S Pdx et, si bon résout enfin par rapport à c, 
(20 ) ygSVdx ~ c 
Gomme le facteur e^ Pdx est une fonction de x seul, on voit que 
Г équation linéaire sans second membre a une intégrale générale, 
sous forme normale, également linéaire, ou du premier degré pat- 
rapport à la fonction inconnue y. 
Ici, la fonction que nous appelions en général cp(x,y ) [P- 182] 
égale ye J vdx , et le facteur intégrant C ^f- est ei Vdx . Or, rétablissant ac 
tuellement le deuxième membre Q, multiplions la seconde (19) par Je 
facteur ei Vdx , puis intégrons. Comme ei Vdx V dx — dei Vdx et que, par