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de l’équation linéaire; équation de bernoulli. . 187 
suite, 
e J P P y dx) — d{ye^ Vtijl ), 
il viendra 
( ye^ p<ix =f Qe Jl ' dx dx -1- une constante c 
( ou y = (c-î-f dx)e~S pdr . 
Par conséquent, un même facteur intégrant convient pour les 
deux cas de l’équation sans second membre et de Véquation avec 
second membre. Nous verrons, dans une prochaine Leçon, que cette 
propriété, ainsi que la précédente concernant la linéarité d’une inté 
grale générale (sous forme normale) par rapport à la fonction incon 
nue, s’étend à des équations différentielles linéaires quelconques. Déjà, 
d’après la première (21), la même linéarité subsiste bien pour l’inté 
grale de l’équation (19), quand il y a un second membre. 
C’est Leibnitz qui paraît avoir intégré, le premier, l’équation li 
néaire (19), ou, plutôt, en avoir réduit l’intégration, comme le montre 
(21) , au calcul des deux quadratures fPdx et i /'Qe J ’ prfx dx ( 1 ). 
On ramène à l’équation linéaire celle-ci, dite équation de Ber 
noulli ( 2 ), 
(22) y-+-P y = Qy”, 
oü P et Q sont encore deux fonctions quelconques àex. Quant à l’ex 
posant n, entier ou fractionnaire, positif ou négatif, il diffère de 
l’unité, sans quoi l’équation, réduite à y’-h (P •—Q) < y = o, serait 
simplement linéaire sans second membre. Supposant donc n différent 
de 1, mais d’ailleurs quelconque, multiplions (22) par (1 — n)y~ n , et 
observons que (1 — n )y~ n J r exprime la dérivée de y l ~ n . Il viendra 
(23) d ^ix -+• ( 1 ~ 11 ) p -y x ~ n — < 1 ~ n ) Q> 
équation qui, en y regardant y 1 ~ n comme la fonction inconnue, est 
(‘) Dans sa lettre du 27 novembre 16g4 au marquis de l’Hôpital. Il y parvient 
en concevant l’intégrale d’une équation différentielle M + Ny'=o ordonnée, 
comme M et N, suivant les puissances de y, et finalement bornée, quand il ne 
s’agit d’intégrer que (19), aux deux premiers termes, c’est-à-dire de la forme 
simple U-1-Y y ~ o; il y détermine d’ailleurs les fonctions U, V, ... de x, de 
manière que l’équation, (ig), soit vérifiée identiquement. Cette méthode, qui, 
au fond, revient à poser en général c ou <f{x,j) = U + Vy +..., présupposait, 
et mettait par là-mème en évidence, la forme linéaire de l’intégrale par rapport 
à y; ce qui est le point capital de la question. 
( 2 ) Du nom de Jacques Bernoulli (disciple de Leibnitz, comme son frère Jean 
Bernoulli) qui l’a étudiée vers la fin de 1696.