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INTEGRALES GÉNÉRALES; FACTEURS INTÉGRANTS, ETC. 
©!, © 2 , ©3, ... désignant certaines fonctions de x, y, z, a 
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Et 
elles seront alors les analogues de 1 '‘intégrale normale cp{x,y) = c 
d’une équation différentielle unique ; car une simple différentiation 
en éliminera la constante arbitraire que contient chacune d’elles. 
Les intégrales du système (i), mises sous cette forme normale, peu 
vent donc être représentées par la formule unique o{x,y,z,u,...) —c; 
et l’on voit qu’il y en a toujours n distinctes, c’est-à-dire suffisantes 
pour déterminer, en fonction des quantités x, c 1? c 2 , ..., c n , des 
expressions dey, s, a, ... dont on puisse arbitrairement se donner, 
par un choix convenable de c 1} c 2 , .. ., c„, les valeurs y 0 , z 0 , u 0 , ... 
répondant à la valeur initiale x 0 , également arbitraire, de x. Si l’on 
différentie l’une quelconque de ces équations, écrite cp ~ c, en obser 
vant d’ailleurs que y r , z', u', . . . sont, d’après les équations propo 
sées,/^,/, -,...), f 2 {x,y, z, on aura 
do do , do do 
dx ' dy'' dz dit^ 3 
(6) 
/ ou 
do 
dx 
Ainsi, il existe, entre les dérivées partielles premières de la fonc 
tion cp de x, /, z, u, . . ., et les fonctions données f u / 2 ,/ 3 , ... de 
ces mêmes variables, des rapports tels, que l’expression de 
se confond avec ; et, cela, pour toutes les valeurs possibles de x, 
y, z, u, ..., puisque chaque valeur de x pourrait, à son tour, être 
adoptée comme valeur initiale, et que les valeurs correspondantes de 
y, z, u, . . . seraient, alors, susceptibles d’être choisies arbitraire 
ment. L’égalité (6) est donc une identité. 
Gela posé, prenons les équations différentielles (i) sous la forme 
(7) dy — f v dx = o, dz — f^dx — o, du —/3 dx — o, ..., 
et ajoutons-Ies, après les avoir respectivement multipliées par 
■7— y ~r~ 5 
• • • Si nous remplaçons, dans les résultats