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THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES : 
p ar ]a somme des premiers membres deviendra 
1 dx 
(8) 
do , do , do 
—-i dv -1— 7 — dz h—d- du 
dy J dz 
du 
do 
dx 
dx 
do\ 
en sorte que le résultat, réduit àrfœ^o, sera immédiatement inté 
grable et donnera o =z const., c’est-à-dire l’une des n intégrales géné 
rales prises sous leur forme normale. 
IL existe donc toujours, pou?' un système de n équations différen 
tielles simultanées du premier ordre, résolues par rapport aux 
différentielles des fonctions inconnues et réduites ensuite, par trans 
position de termes, à avoir leurs seconds membres nuis, n groupes 
distincts de facteurs d’intégrahilité (fonction de x, y, z, u, . . .), 
tels que, si Von multiplie les équations jproposées par ceux 
do 
’ dy‘ 
do do 
dz du ’ 
de l’un quelconque des groupes, puis qu’on fasse la 
somme des résultats, V équation obtenue s’intégre immédiatement ; 
car elle a pour premier membre une différentielle totale, inté 
grable par des quadratures et cotiduisant cl l'une des intégrales 
normales cp — c du système proposé. 
375*. — Propriété qu’ont les solutions singulières et, sous certaines con 
ditions, les solutions asymptotes, de rendre infinis un ou plusieurs de 
ces facteurs. 
(Compléments, p. 247*.) 
376. — Réduction d’un système d’équations différentielles d’ordre quel 
conque à un système d’un nombre plus grand d’équations du premier 
ordre. 
On peut toujours ramener un système d’équations différentielles à 
être du premier ordre, en y considérant comme autant de fonctions 
inconnues distinctes toutes les dérivées qui y paraissent, sauf la plus 
élevée de chacune des fonctions cherchées, et en déterminant les in 
connues auxiliaires ainsi introduites par les relations ^ comme y' = ^L, 
z' — C ^d-, . . qui, justement, les définissent en tant que dérivées 
soit les unes des autres, soit des inconnues principales demandées 
y, z, u, .... On obtient ainsi un système plus nombreux d’équa 
tions simultanées ; mais, évidemment, ce système est du premier 
ordre.