I g4 THÉORIE GÉNÉRALE DES ÉQUAT. DIFF-ER. : INTEGRALES DE DIVERS ORDRES; 
lera, comme on sait, la différentielle totale exacte de la fonction 
On aura ainsi 
do 
do 
d} 
t ( dy _ y dx) H- ( dy - y" dx) 
do 
i 
dy ia ~ 
( dy^' l ~ 1 ' —f dx) = c/o, 
c’est-à-dire, plus simplement, en tenant compte de ce fait que j', 
r", . . . désignent les dérivées successives de y et que, par suite, les 
expressions dy—y' dx, dy' — y"dx, . .., dy^ l ~- ] —dx sont 
identiquement milles, 
(m) 
do 
dy { 
ffjj (dy<»-*>—fdx) = do. 
IL existe donc, pour toute équation différentielle d’ordre n mise 
sous la forme dy( n ~' i ' ) — f dx -no, un facteur, ■ , •> fonction de 
cty 
x, y, y 1 , y", . . ., et même n facteurs analogues distincts 
(un pour chaque intégrale normale cpr=const.), qui rendent le 
premier membre de cette équation la différentielle totale de cer 
taines fonctions cp de x, y, y 1 , y", . . ., y (ra_1) . 
Quand un de ces facteurs est connu et qu’on l’applique, l’équation 
devient exactement intégrable une fois ; et l’on obtient, en intégrant 
en effet, une équation différentielle d’ordre n — i, savoir 
? O, y, y\y", ■■■, y {,l -y = c. 
Celle-ci est dite une intégrale générale première de la proposée. Si 
l’on peut la traiter comme la proposée, c’est-à-dire l’intégrer elle- 
même une fois, on aura, avec deux constantes arbitraires, une nou 
velle intégrale, appelée intégrale deuxième de la proposée. En 
continuant de même, on arrivera, après n intégrations, à l’équation 
intégrale n ième ou du n icme ordre, qui contiendra x, y et les n con 
stantes arbitraires successivement introduites. Celle-ci sera l'inté 
grale générale de la proposée ; car, résolue par rapport à y, elle 
donnera la valeur générale de cette fonction, avec toutes les con 
stantes arbitraires nécessaires pour pouvoir disposer à volonté de sa 
valeur initiale y 0 et de celles, y 0 , y" 0 , . . ., y [ f~ v ‘, de ses n — i pre 
mières dérivées. 
378*. — Sur les solutions singulières des équations différentielles 
d’ordre supérieur. 
(Compléments, p. 2/(8*.)