TRENTE-NEUVIÈME LEÇON. 
APPLICATION DES THÉORIES PRÉCÉDENTES AUX ÉQUATIONS LINÉAIRES 
DU SECOND ORDRE LES PLUS SIMPLES. 
396. — Exemple : intégration de l’équation linéaire du second ordre 
à coefficients constants et sans second membre. 
Appliquons en premier lieu les théories précédentes à l’équation 
linéaire du second ordre (20) [p. 215], en nous bornant même au cas 
de A, B constants. Ce cas, dont on doit à d’Alemberl la solution gé 
nérale (obtenue vers 17/47)5 est d’une importance capitale dans les 
applications mécaniques et physiques. 
Supposons d’abord Je second membre F(^) nul. Alors l’équation 
proposée (20) pourra s’écrire symboliquement 
Préparons le trinôme symbolique entre parenthèses comme nous le 
ferions si ~ y désignait une vraie variable X et qu’il s’agît de con 
vertir ce trinôme en une somme ou une différence de deux carrés 
pour obtenir, par exemple, les racines imaginaires ou réelles annu 
lant X 2 +AX + B. Autrement dit, appelons — 2a la constante A et 
± P 2 l’excédent positif ou négatif de l’autre constante B sur a 2 ; ce 
qui revient à se donner l’équation (21) sous la forme 
(22) y" — 2 %y' 
ou 
Elle admettra les deux solutions particulières 
(2'’) | Ai = e%x cos y 2 = e* x sinficc, quand le signe de ± p sera -+-, 
! JKi = coh ¡3#, y 2 = sih ¡3a?, quand le signe de ± [3 2 sera—, 
comme on le vérifie sans difficulté par deux différentiations de ces 
valeurs, avec substitution soit dejq, y\, y\, soit de y 2 , y' 2 , y\, à y, 
y', y 1 ' dans l’équation (22) correspondante, ou, mieux encore, comme