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EQUATION LINEAIRE DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS CONSTANTS.
on Ta déduit de transformations simplificatrices au t. I, p. 84*
l’intégrale générale sera, par suite, y — c 1 y l -t- c 2 y 2 , c’est-à-dire
( 24 )
y — e ax (c¡ cos ¡3 a? -4- c 2 sin p a?), si le signe de ± P 2 est -t-,
y = co p p a? _c a sih ¡3 a?), si le signe de ± B 2 est —.
On remarquera que, dans le second cas, où l’expression de y con
tient un cosinus et un sinus hyperboliques, il suffît de poser Cj = 1,
c 2 — ± 1, pour obtenir les deux intégrales particulières
e XíC (coh ¡3a? ± sih ¡3 a?) — e ± ^ x ,
c’est-à-dire e (a+ ¡ba? et e {a ~$' lX , dont on formerait aisément l’intégrale
générale, en les multipliant par deux constantes arbitraires et ajou
tant. Or ces intégrales particulières e (a± P )x auraient pu aussi se dé
duire directement de la seconde (22), qui, vu le signe — de ¡3 2 ,
devient alors, par une décomposition immédiate de la différence des
deux carrés symboliques en un produit,
cl
(25)
(*=f3)
dx
-(a
y
équation évidemment satisfaite quand on prend
<25 bis) d ^ c ~ (a±P).r = o,
c’est-à-dire,
y =
p(a±8)ar
Le cas le plus utile est celui où l’équation proposée (22) se trouve
débarrassée de son second terme (en y'), circonstance réalisée natu
rellement, au moins à très peu près, dans la plupart des applications
physiques, et résultant, quand il n’en est pas ainsi, d’une transforma
tion facile (p. 256*), qui consiste à substituer à y la nouvelle fonc
tion Y définie par la relation y — e ax Y. Bornons-nous donc à ce cas,
où la valeur de a s’annule. Les expressions (24) de y y deviennent
(26)
y — soit
d’où
c 1 cos ¡3 a?
sin ¡3a?, soit c 1 coh ¡3a?-4- c 2 sih [3a?:
( y'= soit —Ci¡3 sin¡3a?-t-c 2 ¡3 cos ¡3a?, soit c t ¡3 sih ¡3a? -+- c 2 p coh¡3a?.
Gomme l’équation proposée y" db ¡3 2 y o, où x ne figure pas expli
citement, reste la même quand on change l’origine des x de manière à
remplacer x — x 0 par x, il est permis de faire nulle la valeur initiale
x 0 de x ] et alors les équations (26), donnant y~c x , y’ = c 2 [3 pour
x — o, montrent que les constantes arbitraires c x , c 2 représentent,
l’une, la valeur initiale y 0 de la fonction, l’autre, le quotient par ¡3 de
la valeur initiale y 0 de sa dérivée, eu sorte que les intégrales (26)
til, 1
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