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CAS D UN SECOND MEMBRE PERIODIQUE. 
l’instant initial x—o, conduit à superposer à la solution générale 
c t cos ¡3x -h c 2 sin fix de l’équation sans second membre. 
398. 
Cas où le second membre est soit constant, soit périodique. 
11 existe deux cas spéciaux, d’une grande importance pratique, où 
la solution particulière la plus simple et la plus utile qu’admette l’é 
quation (З2) n’est pas celle dont il vient d’être parlé, mais bien une 
autre dans laquelle ne s’annulent pas, du moins ensemble, les va 
leurs initiales y 0 = c, et y 0 — c 2 P de y et y'. 
Le premier, déjà abordé implicitement au n° 390 (p. 206), est celui 
où le second membre Е(ж) se réduit à une constante K, et où, par 
suite, l’équation proposée, y" + ft 2 y = K, se trouve satisfaite en pre 
nant pour y la valeur constante ^ • Cette solution particulière 
K , , 
y — que nous savons représenter 1 état permanent du phenomene 
régi par l’équation, se déduirait évidemment de (33) en la suppo 
sant réalisée dès l’origine, c’est-à-dire en faisant cy = c. 2 — о, ou 
y t = ^> y' 0 = o. Et en effet, le dernier terme de (33), vu la valeur 
P 
K de F(£), devient alors, par une intégration indéfinie immédiate, 
^[cos(pÆ—— cosp#); ce qui, joint à c^osfix, 
donne bien y = ^ • 
p- 
Le deuxième cas est celui où le second membre F(#) se compose 
de termes proportionnels à des.cosinus ou sinus d’arcs fonctions li 
néaires de x, termes pouvant toujours se résoudre en groupes de la 
forme M cos nx + N sin nx, lesquels, par le choix de constantes K et y 
telles que M = Kcosy et N = Ksiny, se réduiront à la forme plus 
simple Ксоз(/гл? — y). En langage ordinaire, une telle forme, 
Kcos(/i^ — y), et le mode de variation des quantités qu’elle repré 
sente, sont souvent qualifiés de pendulaires, du moins dans les phé 
nomènes dynamiques où la variable appelée ici x désigne le temps : 
la raison en est qu’elle exprime à très peu près la suite des écarts 
(supposés assez petits) d’un pendule, de part et d’autre de sa verti 
cale d’équilibre. 
Ce cas comprend le précédent en supposant n — о ; et il comprend 
surtout celui d’un second membre périodique, car toute fonction 
F(a?) périodique, c’est-à-dire qui repasse par les mêmes valeurs