EXEMPLE DE L'INTEGRAT. APPR. DES ÉQ. PAR LA MÉTH. DE VAR. DES CONST. 227
complexes pour pouvoir être définis, avec une certaine précision, au
moyen d’une seule fonction y du temps; et de là résulte, sauf dans
des conditions particulièrement heureuses, l’insuffisance de la présente
analyse, pour le calcul de bien des phénomènes, que celle-ci ne fait,
de la sorte, qu’esquisser. Mais il lui reste justement l’avantage de
mettre en vue, dans des équations linéaires très simples des deux
premiers ordres, comme les lois typiques et élémentaires de ces éta
blissements de régime, par périodicité régulière ou surtout irrégu
lière approchant de la permanence, que la nature nous offre sans cesse,
spécialement dans les mouvements astronomiques, ainsi que dans
toutes les sortes d’écoulement des fluides, et que révèle aussi la
marche des machines industrielles,
400. — Exemple de l’intégration approchée d’une équation non linéaire,
par la méthode de la variation des constantes.
D’une équation linéaire avec second membre, passons maintenant
à une équation non linéaire, afin de donner un exemple aussi simple
que possible de la manière dont on pourra l’intégrer par approxima
tions successives, après l’avoir provisoirement réduite à une autre,
intégrable sous forme finie.
Nous supposerons que, x désignant le temps et y la coordonnée, à
considérer, d’un mobile dont les écarts de part et d’autre de la situa
tion y = o resteront assez faibles, il s’agisse d’un mouvement où la
dérivée y" de la vitesse y' soit une fonction donnée de l’espace y,
nulle pour y — o et développable au moyen de la formule de Mac-
Laurin, entre les limites dont il s’agit, en une série très rapidement
convergente, —- fi 2 y -+- Ey 2 -h Fy 3 q~. .., ayant son premier coefficient
négatif. L’équation à intégrer sera donc, si on ne laisse dans le second
membre que les termes très petits devant fi 2 y,
C40 y r -+-PV= Ey*~hFy*+:...
Comme l’on pourra, à une première approximation, prendre j" = — ¡3 2 y,
ou poser y — Ci cos $x H- C 2 sin fix avec C t et C 2 réduits à deux
constantes c i} c 2 , cette valeur dey, substituée dans le second membre
de (4C> lui donnera bien la forme F(x) et permettra, par conséquent,
d’exprimer Ci et C 2 , devenus maintenant variables, par les formules
(3o) [bornées aux sinus et cosinus circulaires], que des approxima
tions ultérieures seront môme susceptibles, en faisant mieux connaître
F(¿c), de préciser davantage.
Bornons-nous au calcul de la deuxième approximation, dans l’hy-
