CINQUANTIÈME LEÇON. 
CALCUL DES VARIATIONS. 
481. 
But du calcul des variations. 
Les équations soit différentielles, soit aux dérivées partielles, ad 
mettent encore une application importante, qui fera l’objet de notre 
dernière Leçon. Elle consiste à déterminer la forme que doivent rece 
voir certaines fonctions, graduellement altérables et arbitraires, du 
moins entre des limites ou sous des conditions désignées, pour rendre 
maximum ou minimum une intégrale définie, soit simple, soit mul 
tiple, dont les divers éléments se trouvent dépendre des valeurs suc 
cessives de ces fonctions. Des problèmes célèbres de Géométrie et de 
Mécanique, résolus d’abord, vers la fin du xvn e siècle, par des pro 
cédés spéciaux dont on verra plus loin un exemple (n°493), ont donné 
naissance à cette dernière branche de l’Analyse, qu’Euler et Lagrange 
organisèrent définitivement, sous le nom de Calcul des variations, 
vers le milieu du siècle suivant. 
Pour nous former une idée précise de son but, imaginons que, de 
vant considérer dans le plan xOy [p, 2.48], entre un point connu A 
dont l’abscisse x estOa = « et un autre point connu B dont l’abscisse 
plus grande est O ¡3 = b, une courbe arbitrairement variable d’ailleurs, 
ou, ce qui revient au même, une infinité de courbes comme AMB, 
définies chacune par la fonction qui exprime en x leur ordonnée y, 
l’on donne en outre une fonction bien déterminée f{x,y, y') de cette 
abscisse x, de l’ordonnée y et de quelques-unes des dérivées succes 
sives de celle-ci, dérivées que nous supposerons, pour plus de simpli 
cité, se réduire à la première y', ou au coefficient angulaire C ~ — 
de la tangente MT menée au point considéré quelconque M (x,y); 
enfin, que l’on demande de choisir la courbe AMB, c’est-à-dire la fonc 
tion inconnue y de x, de manière à rendre l’intégrale / f{x,y,y')dx 
le plus grande ou le plus petite possible, savoir, ou constamment plus