AU PROBLÈME DE LA SURFACE DE RÉVOLUTION MINIMUM. 
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ses parties, c’est-à-dire entre deux quelconques de ses points, de la 
même propriété de minimum; sans quoi son arc compris entre les 
deux points où elle cesserait d’en jouir devrait être remplacé par un 
autre dont l’aire engendrée serait moindre. Si donc il arrive que la 
courbe cherchée comprenne plusieurs segments, CA et CB, par 
exemple, ayant en partie même projection sur l’axe des x, on pourra 
former son équation différentielle en considérant séparément ces seg 
ments CA, CB comme dans le cas où leur point inconnu de jonction G 
serait une extrémité donnée ; de manière que, sur chaque segment, 
l’abscisse x se trouve apte à servir de variable indépendante et même 
croisse sans cesse, d’un bout à l’autre, comme on l’a admis ci-dessus 
r b . 
en présentant sous la forme I /(¿r, y, y') dx l’intégrale proposée. 
a 
Nous aurons donc ici, sur chaque segment CA ou CB, 
f(x,y,y') = x\/i 4-y' 2 
et, par suite, 
df 
dy 
df_ 
dy' 
/1 
-y 2 
Alors l’équation différentielle (7), réduite à d 
df 
dy' 
o, s’intégrera 
immédiatement et donnera, pour chaque segment CA ou CB, 
df_ 
df 
une constante. 
D’ailleurs, cette constante sera commune, sauf le signe, aux deux 
segments contigus CA, CB ; car, à leur point de jonction C (où 
y 1 — zh cc), le rapport — se réduit à ±1, et, si l’on appelle c 
Д-^у" 1 
l’abscisse positive de ce point, l’expression de -yp s’y réduit à ± c, forme 
qu’elle peut évidemment prendre toujours, même quand il n y a pas 
de sommet comme C ou que tout l’arc AMB appartient à un seul 
segment. Donc, en élevant au carré, puis résolvant par rapport à 
dy- -y'- dx-, on trouve, pour toute la courbe cherchée ACB, l’équa 
tion différentielle unique 
(9) 
х-у г 
dy- 
i 2 d.y 
Tirons enfin la valeur ± c 
dx 
\Jх г — 
de dy, positive de G en A, né-