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FIGURES MAXIMA POUR UNE ÉTENDUE DONNÉE DE LEURS LIMITES 
corde pareille et infiniment voisine R/T 7 , on aura évidemment 
arcRST = arcR'ST'; d’où arcRR' — arc TT' et aussi, sensiblement, 
cordeRR'= corde TT'. D’ailleurs, RT et R'T'se croisant évidemment 
Fig. 64. 
en un certain point O, les triangles O RR, OTT' que délimitent laté 
ralement ces deux droites, peuvent être censés isoscèles (à cause de 
leurs angles à la base sensiblement droits) et donnent, sauf erreur in 
finiment plus petite que RR', OR' = OR, OT' = OT ; d’où R'T'=r;RT, 
c’est-à-dire R'T'—RT = une quantité d’un ordre de petitesse supé 
rieur au premier, et, par suite, ¿/(RT) = o ou RT = une constante. 
Il résulte ensuite de la double égalité des angles au sommet O et 
des bases RR', TT' (à des erreurs relatives près négligeables), que 
les deux triangles sont égaux eux-mêmes, ou qu’on a de plus 
OR = OT — \ RT =r const. , sauf écarts infiniment petits. Donc les 
normales RO, R'O', . . ., menées à la courbe en une suite de points 
voisins, et prolongées chacune jusqu’à leur intersection par la sui 
vante, ne présentent entre elles que des différences d’un ordre de 
petitesse supérieur au premier, c’est-à-dire incapables de produire 
par leur accumulation un total fini. La différence R'O'—RO se 
trouvant ainsi d’un ordre supérieur au premier, comme l’était déjà 
R'O — RO, il en sera évidemment de même de R'O'— R'O = 00', 
distance de deux points d’intersection successifs; et, par suite, toutes 
les normales, d’égale longueur, ne pourront manquer d’aboutir à un 
centre unique O. C’est dire que la courbe RSU se réduit à une cir 
conférence, ou que la surface plane à aire maximum, d’un péri 
mètre donné, est un cercle. 
Le rapport de l’aire au carré du contour, dans une figure plane, 
a donc pour plus grande valeur possible 
71 R 2 _ 
(■attR) 2 4tt 
0 ? °79 i> 77 
c’est-à-dire l’inverse de la surface d’une sphère de rayon i.