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PROPRIÉTÉS DU CERCLE ET DE LA SPHERE.
Si la courbe RSTU, au lieu d'être tracée sur un plan, devait se
trouver sur une sphère et y entourer la surface sphérique la plus
grande possible, la même démonstration s’appliquerait, sans autres
changements que la substitution de plans diamétraux aux sécantes
précédentes et d'arcs de grands cercles aux cordes RT, R'T', RR'
TT', . . ., ou de triangles sphériques aux triangles rectilignes ROR',
TOT'. Il faudrait, toutefois, supposer les arcs RT, R'T' inférieurs à
un demi-grand cercle, pour pouvoir, de l’égalité de RR' à TT', con
clure celle de OR à OT. Sous cette réserve, on obtiendrait encore,
pour la courbe demandée, une circonférence, ayant son pôle en O.
Ainsi, la courbe fermée qui, sur une surface sphérique (et non
pas seulement sur le plan), embrasse, à longueur égale, la plus
grande superficie, est la circonférence, pourvu toutefois que le
maximum cherché existe. Evidemment, cela n’a lieu, dans le cas
de la sphère, qu’aulant que la circonférence en question ne devient
pas celle d’un grand cercle.
Sauf cette restriction, on voit que, par exemple, à la surface de la
terre, un pays d’une étendue déterminée offre la moindre longueur
possible de frontières quand son contour est circulaire, ou quand sa
forme se rapproche le plus possible de celle d’une simple calotte.
196. — Surface d’une étendue donnée enfermant le plus grand volume ;
elle n’est autre qu’une sphère.
Considérons enfin la surface courbe fermée qui, sous une certaine aire
totale S, comprend le plus grand volume, et soit KLM (p. 268) sa sec
tion par un plan quelconque. Je dis que cette section sera nécessaire
ment circulaire.
Menons, en effet, à la surface un plan langent PV parallèle à KLM
et, dans ce plan, par le point P de contact, la tangente quelconque
PA ; puis imaginons qu’un plan mené suivant PA tourne, autour de
cette droite, jusqu’à l’instant où, coupant le solide suivant une cer
taine courbe PLP'L', il partage la surface du solide en deux parties,
PLP'K, PLP'M, équivalentes. Alors celle de ces deux parties qui
recouvre le plus grand volume formera évidemment, avec sa symé
trique par rapport au plan PLP' qui la limite, une surface fermée de
même aire que la proposée et contenant le volume le plus grand pos
sible. Or la figure ainsi obtenue, symétrique de part et d’autre du
plan PLP'L', ne peut avoir une arête tout le long de son intersec
tion avec ce plan ; et celui-ci est, dès lors, forcément normal en tous
leurs points communs. Donc, ce plan PLP' se trouve : i° mené sui-