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LA SPHÈRE EST LA SURFACE A VOLUME MAXIMUM.
vant la normale PP', en P, à la surface proposée, et, 2°, perpendicu
laire à la tangente LT de la courbe KLM, comme l’étant à deux plans
Fig. 65.
F
qui se coupent suivant LT, savoir, au plan KLM dont il contient la
perpendiculaire PP' et au plan tangent en L à la surface.
Par suite, la normale LN à la courbe proposée KLM est dans le
plan PLP' et va passer par le pied N de la perpendiculaire PP'
abaissée du point P sur le plan de cette courbe. Comme il en serait
évidemment de même pour tous les autres plans menés suivant PP'
et coupant la courbe KLM en des points quelconques, toutes les nor
males de cette courbe iront passer par le point N, auquel se réduira,
dès lors, sa développée. Ainsi, la section plane KLM du solide pro
posé est bien une circonférence, dont le centre se trouve, avec tous
ceux des sections analogues faites par des plans de même direction,
sur la perpendiculaire PP' commune à ces plans.
En conséquence, la surface courbe considérée a une forme de révo
lution autour de PP'; mais, comme son méridien constitue une autre
de ses sections planes et ne peut manquer davantage d’être un cercle,
elle se réduit forcément à une sphère. Donc, la sphère est, de tous les
corps de même surface, celui qui a le plus grand volume.
Ce résultat capital, connu dès l’antiquité, et bien facile à démon
trer, comme on voit, géométriquement, n’a pu encore être établi
complètement par l’Analyse ( ! ).
(*) Le calcul des variations y conduit, comme condition de maximum ou de
minimum, à une équation aux dérivées partielles exprimant que la surface cher
chée doit avoir partout même courbure moyenne (t. I, p. 260*) ; après quoi il ne
reste plus qu’à reconnaître, en intégrant celle équation aux dérivées partielles,
si la sphère est la seule surface continue à courbure moyenne constante. Or c’est
bien ce qu’a fait M. Jellett ( Journal de Mathématiques pures et appliquées, de
Liouville, t. XVIII, p. x63 ; 1853 ) pour les surfaces qui ne sont rencontrées qu’en
un point par les rayons vecteurs émanés d’une origine prise à leur intérieur, mais
ce qu’on n’a pu faire encore d’une manière entièrement générale.