2 CE QU’ON ENTEND PAR L’INTÉGRATION D’üNE DIFFÉRENTIELLE. 
ments infiniment petits qui y composent son accroissement graduel 
total, c’est-à-dire la fonction elle-même, si l’on est parti d’un état où 
elle fût nulle. Ainsi intégrer, c’est, au fond, rétablir une quantité 
dans sa valeur totale, dans ce qu’on peut appeler son intégralité, par 
le rapprochement, la sommation, des éléments ou parties infiniment 
petites qui la constituent. Ce mot se justifie donc de lui-même, 
comme ceux d'intégration et de calcul intégral qui en dérivent. 
Nous verrons plus loin que la différentielle d’une fonction peut être 
donnée sous diverses formes plus ou moins complexes. Pour le moment, 
bornons-nous au cas le plus simple, qui est celui où la quantité in 
connue ne dépend que d’une variable, x, et où sa différentielle, donnée 
explicitement en fonction de cette variable seule, est de la forme 
f{x) dx,f{x) désignant, comme on voit, la fonction connue qui ex 
prime sa dérivée. Nous représenterons par F(æ;) la fonction cherchée, 
ayant pour différentielle f{x) dx : on l’appelle quelquefois la fonction 
primitive de f{x), par opposition à celle-ci, f{x), qui en est dite, 
comme nous savons depuis longtemps, la dérivée. 
Ces dénominations sont parfaitement justes quand on aborde l’ana 
lyse infinitésimale par l’étude des courbes algébriques et des fonctions 
algébriques, dont les équations ou expressions finies se présentent 
en effet comme primitives, c’est-à-dire comme logiquement antérieures 
aux équations différentielles de ces courbes ou aux formules des va 
riations infiniment petites de ces fonctions. Mais il n’en est plus de 
même dans d’autres questions d’Analyse ou de Géométrie pures, et 
surtout quand on se place au point de vue des applications physiques. 
En effet, dans la nature, ce sont les différentielles, plutôt que leurs 
sommes, qu'on peut regarder comme primitives ; car ce senties chan 
gements infiniment petits des quantités concrètes, c’est-à-dire les 
flux ou rapidités de variation, que les lois des choses déterminent 
immédiatement, en les réglant, il est vrai, à chaque instant, d’après 
l’état actuel déjà réalisé, c’est-à-dire d’après les valeurs intégrales pré 
sentes du système de quantités dont il s’agit. 
214. — Existence et degré d’indétermination de la fonction 
dite primitive. 
Remarquons qu’il existe toujours, quelle que soit la fonction don- 
f [x), une fonction continue F(¿k?), qui répond à la question, ou 
dont la dérivée est f{x). Pour le concevoir, imaginons que x soit, 
dans le plan xOy, une abscisse horizontale variable, d’abord égale à 
une certaine quantité OA = a, que nous appellerons sa valeur initiale,