4 LA FONCTION PRIMITIVE N’EST DÉTERMINÉE Qü’A UNE CONST. PRÈS.
On voit même que la droite AA 7 , valeur initiale de cette fonction,
pourrait être allongée ou raccourcie d’une quantité quelconque A'A";
et qu’on obtiendrait alors une nouvelle courbe, A"B"G". . ., dont
l’ordonnée, que j’appellerai Y, aurait également pour dérivée f{x),
ou exprimerait, elle aussi, au même titre que la précédente, une fonc
tion primitive. Mais il importe d’observer que la différence Y —y des
deux ordonnées se maintiendrait invariable, ou que l’on aurait
A' A" = B' B" = G' G" = ....
En effet, l’expression Y —y, ayant sa dérivée Y 7 — y f ou f{x) — f{x)
identiquement nulle, se réduit forcément à une quantité constante
(t, I, p. 34). Donc, si nous désignons par c une constante arbitraire,
positive ou négative à volonté, la fonction primitive la plus générale
de /( x ) sera y + c ou F ( x ) + c.
En résumé, quelle que soit la différentielle donnée, de la forme
/( x) dx, dans laquelle toutefois f {oc) désigne une fonction ou con
tinue ou affectée seulement de discontinuités accidentelles, on peut
toujours se représenter, et il existe, en conséquence, une fonction
continue, F (x), qui admet cette différentielle f (x) dx, c’est-à-dire
dont la dérivée est f{x). De plus, la différentielle f{x)dx définit
complètement les changements éprouvés par cette fonction, ou
ce qu’on peut appeler sa partie variable avec x; mais elle laisse en
tièrement libre sa partie constante, ou une première valeur, dite
initiale. Aussi doit-on comprendre soit explicitement, soit implici
tement, dans celle-ci, une constante arbitraire, dont la détermina
tion s’effectue à l’aide d’une donnée ou condition accessoire propre à
chaque problème.
215. — Intégrale définie et intégrale indéfinie d’une différentielle f{x)dx\
signification et emploi du signe /.
Supposons que, x ayant reçu d’abord la valeur«, on ait choisi égale
à zéro la valeur correspondante de l’ordonnée de la courbe, ou, ce qui
revient au même, donnons-nous la constante arbitraire c égale à
— AA' = — FO).
La fonction primitive que nous obtiendrons sera ainsi l’ordonnée de
la courbe, Abc... (p. 3), construite en retranchant partout la con
stante F (a) de l’ordonnéey rr: F (x) de la courbe A 7 B 7 C 7 .. . considé
rée d’abord. Cette fonction primitive, F(.r) — F(a), joindra donc à
la propriété d’avoir pour différentielle f{x)dx celle d’être initiale
ment nulle, ou de se former, peu à peu, par l’apport exclusif des va-
