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PRÈS.
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NOTION D’INTÉGRALE DÉFINIE; SIGNIFICATION DU SIGNE /.
leurs que sa dilTérentielle f{x) dx reçoit pendant que x, après avoir
égalé a, éprouve les variations continues ou insensibles dx, d’ailleurs
complètement arbitraires quant à leurs rapports mutuels et à leurs
signes,
La somme de toutes ces valeurs successives de la dilTérentielle
f[x)dx se représente quelquefois, suivant une notation que nous
avons déjà employée (t. I, p. 66), parle symbole 'Lf{x)dx. Mais,
comme les éléments ainsi ajoutés sont infiniment petits et infini
ment nombreux, en sorte qu’il s’agit d’une limite de sommes {id., p. 65)
et non d’une somme déterminée, il est bon d’exprimer nettement, au
moyen cT’une forme spéciale donnée au signe de sommation, l’inten
tion où l’on est de passer à la limite en faisant décroître tous les
termes jusqu’à zéro et croître leur nombre au delà de toute grandeur.
A cet effet, on remplace le 2 grec par le symbole f, dù à Leibnitz et
qui n’est qu’une S (initiale du mot somme) déformée. C’est ainsi que,
dans le Calcul différentiel, la substitution de la lettre d à la lettre
grecque A avait traduit une intention analogue. Et, pour que cette in
tention se manifeste aussi dans le langage parlé, le symbole f s’énonce
intégrale, plus particulièrement que somme, de même que le signe d
s’est appelé différentielle et non différence. Par conséquent, la somme
des valeurs prises successivement par la différentielle f{x) dx quand
x varie avec continuité s’écrira f/{x)dx et se lira intégrale de
f {x) dx ou somme de f{x) dx.
Cette somme étant égale à F(æ) — F(a) quand la valeur initiale de
x est a, on aura
ff{x) dx = F(a?) — F(a).
Une telle expression s’appelle une intégrale définie. Sa valeur,
comme on voit, est complètement déterminée, parce qu’on se donne
celle, a, à partir de laquelle x a commencé à varier; et c’est justement
cette détermination parfaite qu’on exprime par l’adjectif définie.
Pour en donner un exemple très simple, posons f{x) =. x et a o,
ou soit xdx l’expression à intégrer, dans l’hypothèse d’une valeur ini
tiale nulle de x. Il est clair, par une différentiation immédiate, qu’une
des fonctions primitives F (x) ayant pour dérivée x est| ¿c 2 ; et, comme
cette fonction s’évanouit avec x, ou que l’on a ici F (a) = F (o) = o,
il vient fxdx — \x*-.
Mais, si l’on n’expliquait pas quelle a été la première valeur de ¿r,
le terme — F (a) pourrait généralement recevoir, comme a, une infi
nité de valeurs différentes, comprises ou non entre certaines limites;
et ce serait (du moins entre ces limites, s’il y restait contenu) une