10 DE L’INTÉGRABILITÉ DES DIFFÉRENTIELLES A PLUSIEURS VARIABLES; 
et elle est dite immédiatement intégrable, pour exprimer que la 
somme f (M dx -f- N dy peut s’obtenir ou, du moins, constitue 
une fonction des valeurs finales x, y, .. . bien définie (à partir de 
valeurs initiales données a, b, . . .), sans qu’on ait besoin de faire su 
bir aux éléments M dx -+- N dy -+- . . . aucune transformation. Les 
conditions auxquelles doivent, pour cela, satisfaire les coefficients M, 
N, . . . s’appellent conditions d’intégrabilité. 
Il est clair que la différence de deux de ces fonctions cp aura ses dé 
rivées partielles en x, y, ... identiquement nulles; ce qui, dans toute 
manière de faire varier à la fois x, y, . . annulera sans cesse sa dé 
rivée complète par rapport à la variable indépendante choisie et, par 
suite, ses changements totaux. Cette différence est donc invariable ; 
et toutes les fonctions cp se déduisent de l’une quelconque d’entre elles 
par l’addition d’une constante c, évidemment arbitraire. L’expression 
générale de cp ainsi obtenue s’appelle, comme dans le cas de la diffé 
rentielle f{x)dx, l’intégrale indéfinie de M dx-h N dy -h ... et se 
représente d’ordinaire par la formule f (M dx -t- N dy H- . .. ), dans 
laquelle on laisse alors indéterminées les valeurs initiales a, b, . .. ou 
la constante —• co[a, b, . . .). 
Nous allons voir, en considérant d’abord le cas de deux variables 
seulement x, y, quelles sont les conditions d’intégrabilité, et comment 
on peut, quand elles se trouvent vérifiées, obtenir l’intégrale indé 
finie te. 
217. — Marche à suivre, en général, pour intégrer + 
condition d’intégrabilité. 
Soit donc M dx -h N dy la différentielle proposée, ou 
(') 
rfcp 
dx 
M, 
=N 
dy 
les deux équations à résoudre. Appelons fM dx une, fonction de x el y 
ayant M pour sa dérivée partielle en x el obtenue, par conséquent, en 
intégrant M dx sans faire varier y: chose que nous savons être tou 
jours possible, en ce sens du moins que la fonction primitive consi 
dérée existe. Comme on aura identiquement M — -^- fM dx, la pre 
mière équation (i) pourra s’écrire (cp — fMdx) = o, et elle 
signifiera que la différence cp — fMdx ne dépend pas de x, mais dé 
pend seulement des autres variables, c’est-à-dire ici de y. Si nous la 
représentons par y), nous aurons 
O) 
cp = /M dx -+-