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3o INTÉGR. PAR PART. : SON APPL. A //( X )e x dx, X ) ( COS X 0U sin X ) dx, 
plus simple qu’il ne l’est lui-même, si on le suppose fonction entière 
de x. 
En posant donc u—f{x) [d’où du =f (x) dx], et v~ soit e x , 
soit sin¿r, soit — cos.3?, il viendra 
( / f{x)e x dx — f{x)e x — / f’{x)e x dx, 
(29) ' / f{x) cosa? dx = f{x) sina? — / f\x) sin x dx, 
( / f{x) sina? dx = — /(a?) cos a? -4- /f'(x) cosx dx. 
On voit que les trois intégrales proposées sont ramenées à d’autres 
de mêmes formes, mais où le polynôme f{oc), d’un certain degré m, 
se trouve remplacé par sa dérivée, dont le degré n’est plus que m — 1. 
Le même procédé, appliqué à ces nouvelles intégrales, les réduira 
pareillement à d’autres où le polynôme placé sous le signe f,f"{cc), 
ne sera plus que du degré m — 2; et ainsi de suite, jusqu’à ce que, 
après m opérations, le polynôme étant devenu c’est-à-dire 
un simple facteur constant, et pouvant dès lors sortir du signe f, les 
expressions, restées sous ce signe, e x dx et cosa? dx ou sin a? dx, soient 
immédiatement intégrables. 
Observons que, si, dans les intégrales f f{x)e æ dx, f f{x) cosx dx, 
f f{x) sin x dx, on pose soit e x — t, soit sina?=;¿, soit cos x~t 
(d’où x — soitlogi, soit arcsini, soit arc cosí), elles prennent les 
formes respectives f f{\ogt)dt, f /(arc sin t)dt, — f /(arc cosí) dt. 
Celles-ci sont donc elles-mêmes évaluables d’une manière finie, comme 
il était du reste évident pour la première, composée de termes de 
la forme A f (loga?)' 1 dx qu’on vient d’intégrer. 
237. — Troisième exemple : réduction de f ùn m x cos n xdx. 
Nous avons vu tout à l’heure (pp. 26 et 27) comment l’expression 
sïn m x cos n x dx s’intégre quand les exposants m, n sont ou nuis, ou 
égaux à l’unité en valeur absolue. Il suffira donc, si l’on veut calculer 
l’intégrale f sin 7 "a? cos 11 x dx pour tous les cas où m, n sont entiers, 
de la ramener à d’autres de même forme, mais où les exposants aient 
deux unités de moins en valeur absolue; car ce genre de réduction, 
appliqué un nombre suffisant de fois, rendra finalement les entiers m 
et n moindres que 2 en valeur absolue, c’est-à-dire égaux, chacun, à 
zéro, à h- 1, ou à — 1. Or on y arrive, justement, au moyen de l’inté 
gration par parties. 
Supposons, par exemple, qu’on veuille réduire de deux unités l’ex 
posant du sinus. Alors on prendra pour facteur non intégré sin 777-1 x 
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