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02 INTÉGRATION PAR PARTIES : RÉDUCTION DE / sill” 1 X COS" X dx 
et qui, pour m et ni — 2 négatifs, permettra de ramener, au contraire, 
l’intégrale / sin" l_2 ^r cos n xdx à f sïn m x cos n x dx, où la valeur 
absolue de l’exposant du sinus se trouvera également diminuée de 
deux unités. 
On réduirait l’exposant du cosinus en opérant de môme, après avoir 
pris, dans f sin /w #cos n xdx, pour facteur non intégré, cos re_1 ^ et, 
pour facteur intégré, / sin^jc cosx dx — ? puis en rempla 
çant, dans l’intégrale obtenue au second membre, ûn m+2 x par 
sin'"a7(i — cos 2 ^r). 
Supposons, par exemple, que n~o et que m soit un nombre entier 
positif supérieur à 1. Alors la formule (3i), divisée par m, deviendra 
(02) 
fsin m x dx 
f sin , " _2 ^ dx. 
Elle permettra, comme on voit, d’abaisser successivement l’expo 
sant m d’autant de fois deux unités qu’on le voudra, de manière à le 
réduire finalement à zéro ou à 1 ; et alors l’expression à intégrer, dx 
ou sinxdx, donnera soit f dx—x-\-c, soit f sinxdx——cosx -\-c 
238. — Quatrième exemple : calcul de 
f e~ ax cosbxdx et de f e~ ax sinbxdx. 
Pour abréger, appelons 1 la première des intégrales proposées, 
J'e~ ax cos b x dx, et J la seconde, f e~ ax sin hx dx. Prenons-v, pour 
facteur non intégré, cos bx, dans la première, sin ¿a;, dans la deuxième, 
et, par suite, dans les deux cas, pour facteur intégré, 
(o~ax 
f e ~ ax dx — • 
a 
Nous aurons donc successivement, en multipliant par a, 
(33) 
al — — / cos bx de~ ax =— e~ ax cos bx -f- /e~ ax d cos bx 
—— e~ ax cos bx — bf e~ ax siaôa? dx, 
a J = — / sin bx de ~ ax — — e~ ax sin bx -+- /e~ ax d sin bx 
— — e~ ax sin bx -f- b f e~ ax cos bx dx. 
Les intégrales sur lesquelles on tombe dans les derniers membres 
ue sont autres que J et 1, à des constantes arbitraires près; d’où il 
C c’ 
suit, en appelant — ¿ ces constantes, que les relations obtenues 
(33) équivalent, par la transposition des parties variables des derniers