VINGT-TROISIÈME LEÇON. 
DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQUES LES PLUS SIMPLES. 
239. _ Différentielles rationnelles : de leur décomposition en termes 
ou en fractions aussi simples que possible. 
Restreignons-nous maintenant aux. différentielles algébriques, pour 
en faire une étude moins sommaire, et occupons-nous, en premier 
lieu, des différentielles rationnelles, les seules que l’on sache intégrer 
dans tous les cas. 
On appelle différentielle rationnelle toute différentielle algébrique 
dans l’expression de laquelle n’entre aucun radical ou exposant frac 
tionnaire portant sur la variable. En y effectuant les calculs, on la 
réduit toujours au produit de la différentielle, dx, de cette variable, 
par une fraction rationnelle (t. I, p. 25), c’est-à-dire par le quotient, 
de deux polynômes F(a?), f{x). J’appellerai n le degré du 
dénominateur /(¿c), et je supposerai qu’en divisant préalablement les 
deux termes de la fraction par le coefficient de x 11 dans le dénomina 
teur, on ait rendu égal à l’unité ce coefficient. Si donc F(æQ, f{x) 
sont ordonnés suivant les puissances décroissantes de x, l’expression 
def{x) aura la forme 
f{x) — x ,l -r- Kx n ~ x -i- Lx' l ~ 2 -+-. ..+ M. 
F(.2*) 
lira évidemment qu’on sache y décomposer la fraction complexe —-—- 
en termes plus simples, dont les fonctions primitives puissent s’obtenir 
séparément au moyen des règles de la dernière Leçon. 
A cet effet, si l’expression - n’est pas une 
n’est pas une fraction pincement 
dite, c’est-à-dire que le numérateur F(a?) s’y trouve d’un degré aussi 
élevé ou plus élevé que celui, /i, du dénominateur /(¿c), on divisera 
d’abord F(îc) par f{x), jusqu’à ce qu’on obtienne un reste, cp(¿t?), du