DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES. 
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SIMPLES. 
position en termes 
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un 
reste, 
du 
degré n— i au plus. On aura donc extrait de la fraction proposée un 
certain polynôme, constituant la partie entière que cette fraction con 
tenait, et le quotient se complétera par la fraction proprement dite 
q> (x) 
, dont il nous reste à nous occuper pour la subdiviser en fractions 
A*)' 
aussi élémentaires que possible. 
Dans ce but, nous commencerons par résoudre complètement, au 
moyen des procédés de l’Algèbre, l’équation du n ième degré f{x) — o, 
afin de décomposer f{x) en ses facteurs réels du premier ou du second 
degré. Nous savons : i° qu’aux diverses racines réelles simples, que 
j’appellerai a, b, il correspondra tout autant de facteurs du pre 
mier degré, savoir x — a, x — b, ...; 2° qu’a chaque racine réelle 
multiple, c par exemple, d’un certain degré de multiplicité p, il cor 
respondra le facteur (x — c) p ; 3° enfin, qu’à chaque couple déracinés 
imaginaires conjuguées, de la forme a + p y/— i et a — p y/— i , il cor 
respondra le facteur réel du second degré 
{x — a — p/— 1 ){ X — «4- p/— i) — (x — a) 2 -4- p 2 , 
en sorte que, si q désigne le degré de multiplicité de ce couple de ra 
cines conjuguées, /(#) sera divisible par [(x — a) 2 + P 2 ]?. Donc, 
quand on connaîtra toutes les racines réelles simples a, 6, .. ., toutes 
les racines réelles multiples c, . .., ainsi que leurs degrés respectifs 
de multiplicité et tous les couples de racines imaginaires 
a ± Py/— i, , avec leurs degrés analogues de multiplicité q, ..., on 
pourra mettre le dénominateur f{x) de la fraction sous la forme 
f(x)= {x — a){x — b).. .{x— c)p.. .[{x — a) 2 —i— p 2 ]?. ..; 
et il est évident que le degré, n, de f{x), égalera le nombre des fac 
teurs du premier degré x — a, x — b, ..., x — c, x — c, ..., plus le 
double du nombre des facteurs du second degré {x — oc) 2 h— p 2 , ... ; 
c’est-à-dire, en tout, le nombre des racines tant imaginaires que réelles 
de l’équation f{x) = o, chacune comptant pour autant que l’indique 
son degré de multiplicité. 
Actuellement, l’expression considérée ^ T) 
/O) 
j avec son numérateur 
<o{x) d’un degré moindre que le dénominateur et son dénominateur 
égal au produit des facteurs x — a, x — b, .. ., (x — c) p , .. ., 
[(¿c — a) 2 -f- P 2 ] 7 , . . ., se trouve avoir justement la forme de la frac 
tion qu’on obtient, toutes les fois qu’on ajoute ensemble des fractions 
ayant comme dénominateurs ces facteurs respectifs et ayant leurs