36 DÉCOMPOSITION DES FRACTIONS RATIONNELLES EN FRACTIONS SIMPLES : 
numérateurs de degrés moindres que leurs dénominateurs. En effet, 
de telles fractions, quand on les réduit au dénominateur commun f{x) 
, - , f( x ) f( x ) 
en multipliant leurs deux termes par les polynômes x _ a > ’ ‘ 1 * > 
/(*) acquièrent des numérateurs généralement du degré n — i, 
(X c)P 
comme et la somme de ces numérateurs, numérateur de la 
somme des fractions, forme bien de même un polynôme analogue à 
cd(æ'). Il est donc naturel de chercher à décomposer ^7—7 
T v / J\ x ) 
en fractions 
plus simples, qui auraient pour dénominateurs, respectivement, x— a, 
x — h, .. et dont les numérateurs, de degrés moindres, seraient : 
i°, de simples constantes A, B, ... pour les fractions correspondant 
aux facteurs du premier degré; 2 0 , des polynômes de degrés p— 1, 
— 1 pour les fractions correspondant aux facteurs plus complexes 
{x — c)p, [(a? — a) 2 + p 2 ]?, 
Or ces dernières fractions peuvent elles-mêmes se décomposer en 
d’autres plus simples. Car si, par exemple, celle qui correspond au 
facteur (x — c) p est 
'K®) 
^ » où ty(x) désigne un polynôme du 
degré p — 1, on pourra, en divisant par x — c et appelant d’une 
part Q le quotient de degré p — 2, d’autre part le reste constant, 
écrire <]; ( ¿c ) = Q ( ¿c — c) C p , ou, par suite, 
tyjæ) _ 
(x — c)P (x 
Q 
c]P~ l 
C, . 
( x — c)P ’ 
puis on extraira par le même procédé, de 
O 
fraction simple, de la forme 
G«—1 
{x — c)p~ 1 
j une nouvelle 
(a? — c)P~ l 
analogue à ——et ainsi 
ŸO) 
de suite, jusqu’à ce que la fraction ^ YV '"A /; se trouve remplacée par 
une somme, 
G«—1 
G, 
{x — c)P 
mp 
5 où les 
(X —c)P (X C)P~ i ’’’ (X — c) 2 X — c 
numérateurs C 1} C 2 , . . ., C^, seront des nombres constants. De même, 
si^(^c) désigne le numérateur de la fraction correspondant au facteur 
[(x — a) 2 + P 2 ] 7 , en divisant y {x) par le trinôme du second degré 
(x — a) 2 x 2 —2xx-h (a 2 + p 2 ) et appelant Q le quotient, du 
degré 2cj — 3, D q x + E 7 le reste du premier degré, on aura 
X( x ) ~ QtO a ) 2 ■+■ P 2 ] + {^q x —t- );