44, exemple de l’intégrât, d’une différentielle rationnelle. 
ou bien, en effectuant les divisions indiquées et plaçant les uns sous 
les autres les termes semblables, 
A(x 3 -I- a a? 2 a’-x -+- a 3 ) 
-4- B.(x 3 — ax 2 -H a 2 x — a 3 ) 
-1- G ( x 3 — aïx ) 
-4- D( x~ — a 2 ). 
On voit que, pour rendre le polynôme du troisième degré en ¿c, qui 
constitue le second membre, identiquement égal au premier membre 
2 a 4 , ou, pour égaler, dans les deux, membres, les coefficients totaux 
des mêmes puissances de x, il faudra, au second membre, annuler 
ceux de x 3 , x*, x et égaler à 2 a 4 le coefficient de x°, formé par l’en 
semble des termes constants. Il vient donc, pour déterminer les quatre 
inconnues A, B, G, D, les quatre équations 
( A —i— 13 —i— G o, et A. — et B i 11 o, 
^ ^ j a s A + a ! B — a 2 G = o, a 3 A —a 3 B—a 2 P = 2a 4 . 
Si l’on divise la troisième par a 2 et qu’on la combine alors avec la 
première, tant par voie d’addition que par voie de soustraction, on 
trouve A + B = o, G — o; en sorte que ces deux équations reviennent 
à prendre G =: o, B — — A. Alors la seconde ( 13 ), résolue par rapport 
à D, devient elle-même D ■= a(B — A) = — 2 a A. Enfin, ces valeurs, 
— A, — 2 a A, de B et D, portées dans la quatrième (i3), la changent 
en celle-ci, ^ a 3 A = 2 a 4 , qui donne A — ^ et achève par suite de dé 
terminer les inconnues. On a donc A — - , B = — - , G = o, D = — a'-. 
2 2 
C’est dire que, d’après l’égalité (12), accrue, dans ses deux membres, 
delà partie entière 1 trouvée précédemment, la valeur décomposée de 
r . o? 4 —h a 4 
a traction est 
x k — a 1 * 
.. x' 1 a k al i i \ a 2 
14 ) — — r -1 ( — — 
x h —a 4 2\x — a x -+- a j ir 2 -t-a 2 
Et, en effet, si nous additionnons les termes du second membre, il 
vient successivement 
a / x 4- a x — a \ a 2 
2\x‘ l — a 2 x' 1 — a 2 / x % -t- a 2 
2 a’* 
x 4 — a 4 
x'*-\- a 4 
x 4 — a 4 
= 1 -1- a 2 
x 2 — a 2 
x~ 
= 1 -t-