PORTANT SUR UN TRINÔME DU SECOND DEGRÉ. 
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ou à plusieurs endroits, qu’un seul radical ayant 2 pour indice et 
portant sur un trinôme du second degré. Désignons ce radical par 
\Ja-\- bx-\- ex' 2 , et la différentielle proposée sera de la forme 
y (a?, s/a -t- bx -h ex' 2 ) dx, 
si y désigne une fonction rationnelle. 
Avant d’intégrer, on trouve avantage à simplifier le radical, en y 
écrivant ainsi le trinôme, -+- -J^x±x-j, où ±c, pris 
avec le signe supérieur si c est positif, et avec le signe inférieur si c est 
négatif, désigne la valeur absolue du coefficient du terme en x- : on 
peut alors extraire la racine carrée du facteur constant essentiellement 
positif ± c, représenter chacun des quotients censés effectués rp—.» 
P ar une seule lettre, que je supposerai être respectivement A, B, 
et la différentielle à intégrer prend la forme sous laquelle nous la con 
sidérerons, f\x, \/A h- Bx ± x 2 ) dx, où y continue à désigner une 
fonction rationnelle de deux variables. 
Supposons d’abord que le trinôme Kx zh x 2 donne deux racines 
réelles, a, ¡3, quand on résout l’équation du second degré obtenue en 
l’égalant à zéro. Nous savons qu’alors ce trinôme sera le produit du 
coefficient ±1 de x 2 par les deux facteurs linéaires x — a, x — [L La 
différentielle à intégrer pourra donc s’écrire 
y[.r, v/±(a7 — a)0 — P)] dx. 
Soit t une nouvelle variable, définie par l’équation 
(18) 
(19) 
t = 
1 
« 
1 
+1 
^ 
= (x — a)t, 
ie l’on ait 
\/± (x — a )(.t - 
-P) 
4 A- * - P 
x — a 
y x — a 
En élevant (18) au carré et puis supprimant le facteur commun x—a 
(ce qu’on peut faire, puisqu’il ne s’annule que pour la valeur isolée 
x — a), il viendra 
(20) ±(a?— P) = (a? — c/.)t 2 . 
Or cette équation est du premier degré en x et, par suite, résolue, 
donne une expression de x rationnelle, que je représenterai par cp(¿) 
comme dans le cas du type précédent de différentielles irrationnelles.