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¿2 intégration des différentielles algébriques : 
kl 
ces exposants sont des fractions - , - (censées réduites à un môme dé- 
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nominateur positif q), en prenant le radical xi pour nouvelle variable, 
ou posant 
i '1 L 
x<l —t et, par suite, x — ti, dx = qi^ dt, X e ! = t k , X e ) — t 1 , 
on obtient, pour la différentielle proposée, qt k+ v~ l (a -h bt l ) p dt] ce 
qui, abstraction faite du facteur constant q et à part la substitution 
de t kx, est bien une différentielle binôme de la forme 
x m ( a -i- h x n )p dx, 
dans laquelle les deux exposants in et n de la variable ont les valeurs 
entières k + q ■— i et /. Une remarque dont nous aurons besoin tout 
à l’heure est que, dans cette transformation, le rapport m ne 
4- X 
change pas : il était d’abord ^ - 
—■, quand on avait m — - , 
l t • k 
— : et il est aussi — 
q 
maintenant que m—k-\-q — x, n~l. 
Cela posé, tous les moyens que l’on connaît, pour intégrer en termes 
finis, quand c’est possible, la différentielle binôme x m {a H- bx n ) p dx, 
reviennent à mettre cette expression sous l’une des deux formes, évi 
demment équivalentes, x rn {a + bx n ) p dx, x m+np {b H- ax~ n ) p dx, 
et à prendre pour nouvelle variable la quantité entre parenthèses, qui 
est a + bx n dans le premier cas, b -+- ax~ n dans le second. 
Posons, par exemple, 
a-^-bx ,l —t, d’où x — 
b 
et 
7 I 1 / 
dx = - (t 
b 11 
a) n dt. 
L’expression proposée, x m (a + bx n ) p dx, deviendra 
7M+1 
é dr-, tPdv, 
et elle ne contiendra que l’irrationnelle monôme t p si l’exposant, 
m 4- x 
— i, de t — a, est entier, ou, ce qui revient au même, si 
( 2 8) 
= un nombre entier.