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CAS d’intégrabilité DES DIFFÉRENTIELLES BINOMES.
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Cela arrive lorsque Vexposant de x hors de la parenthèse, m, accru
d’une unité, se trouve être exactement divisible par l'exposant de x
dans la parenthèse, n. Quand ce cas, dit premier cas d’intégra
bilité, se présente, la différentielle est donc réduite, par l’introduction
de la variable t, au premier type de différentielles irrationnelles étudié
plus haut, et, par suite, l’intégration peut se faire en termes finis.
Si l’on prenait la différentielle binôme sous sa deuxième forme, en
posant b H- ax~ n — t, des conséquences analogues se produiraient, à
cela près que l’exposant de x hors de la parenthèse serait m-h np, au
lieu de m, et, celui de x dans la parenthèse, — n, au lieu de n. Ce n’est
donc plus pour m - — un nombre entier, mais pour
np
= un nomb. entier, ou
np
— un nomb. entier,
c’est-à-dire, enfin, pour
, „ m -+-
( 2 9) ——-
tn — i .
h p = un nombre entier,
n
que l’intégration aboutirait. Ce second cas d’intégrabilité est tou
jours distinct du premier : en effet, p se trouvant fractionnaire, les
deux nombres ——— et —— h p ne peuvent pas etre entiers a la lois.
Il est bon de remarquer que la transformation indiquée ci-des
sus pour rendre entiers les exposants m et n n’a nullement comme
résultat de faire entrer la différentielle binôme dans un des cas d’inté
grabilité, ni de l’en faire sortir. Car nous avons vu que cette trans
formation, qui laisse l’exposant p le même, ne change pas non plus le
rapport Donc celui-ci, soit pris seul, soit joint à p, donnera
ou ne donnera pas un nombre entier autant après qu’avant la trans
formation.
Citons, comme exemple simple d’une différentielle binôme comprise
dans les cas d’intégrabilité, et que nous avons même déjà intégrée
(pp. 26 et 3i), l’expression sin"^ cos"x dx, lorsque les exposants m,
n y sont entiers. En effet, cette expression, écrite
Tl — 1
sin m x cos’ 1 - 1 x dsin x ou sin w a?(i—sin 2 «) 2 dsmx,
devient, en y posant sin^ = t, la différentielle binôme
n -1
¿ 2 )~ dt.
