VINGT-QUATRIÈME LEÇON. 
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DES INTÉGRALES DÉFINIES : NOTIONS FONDAMENTALES ET EXEMPLES 
DIVERS; * FONCTION T. 
254. — Définitions, notations et considérations générales concernant 
les intégrales définies. 
D’après ce que nous avons vu dès la XXI lèn,e Leçon (p. 5), on appelle 
intégrale définie la somme des valeurs que reçoit successivement une 
différentielle f{x) dx, quand on y fait varier avec continuités depuis 
une valeur initiale donnée a jusqu’à une autre valeur quelconque, b 
par exemple; et cette somme, parfaitement déterminée, égale la dif 
férence, F (6) — F(a), des deux valeurs, finale et initiale, que prend 
l’intégrale indéfinie correspondante ff{x) dx, désignée ici par F(s) 
ou par F(s) -h const. La première et la dernière valeur de x sont 
dites les deux limites de l’intégrale définie : la première valeur, a, 
est la limite inférieure, la dernière, b, la limite supérieure. Leur 
différence, b — a, constitue 1 'intervalle des limites ou encore Véten 
due de l’intégrale : elle mesure le champ d’intégration, compris 
entre a et b. 
Chacune des valeurs successives de la difierentielle J\x) dx est un 
élément de l’intégrale, tandis que leur expression commune, f{x) dx, 
s’appelle l’élément général. Par exemple, si n désigne le nombre (ex 
trêmement grand, infini même, à la limite) des variations éprouvées 
par x depuis x — cl jusqu’à x—b, et si, de plus, x 0 exprimant la 
première valeur, a, on représente les valeurs suivantes par x u x % , ..., 
jusqu’à la dernière, x n , qui n’est autre que b, les divers éléments de 
l’intégrale définie serontles produitsf{x 0 )dx 0 ,f{x l ) dx x ,f{xf)dx 2 ,..., 
f{x n _ x ) dx n j, où les facteurs dx 0 , dx y , dx 2 , . .., dx n _ x serontles ac 
croissements infiniment petits successifs de x, savoir, respectivement, 
X\ — x 0 , x*l — x x , x 3 —x 2 , ...,x n —^/i—i, accroissements d’ailleurs 
arbitraires quant à leurs signes et à leurs rapports mutuels. La somme 
de tous ces éléments, c’est-à-dire l’intégrale définie, constituera bien 
l’augmentation totale, F(¿>) — F(a), de la fonction F(¿c), vu que, 
d’après la définition de celle-ci, on a sans cesse f{x)dx = dF{x).