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SIGNIFICATION DES INTÉGRALES DÉFINIES ; 
Ainsi, de quelque manière continue que varie, à partir de a et jus 
qu’à h, la quantité x, soit en augmentant ou en diminuant toujours, 
soit en passant par plusieurs alternatives d’accroissement et de décrois 
sement, il viendra 
(i) f(x o) dx 0+ f{æi)dasq-t- . . . -+-/(#«-! ) dx n - x ou ff(x) dx = F (b) — F (a). 
Longtemjîs on a représenté une telle intégrale définie par f f(x)dx, 
sans j faire figurer les limites, inférieure et supérieure, qui en fixent 
l’étendue et rendent sa signification déterminée. Fourier, géomètre 
éminent du commencement de ce siècle, a très heureusement complété 
cette notation en inscrivant, au bas du signe f, la limite inférieure et, 
au haut du même signe, la limite supérieure. Par exemple, l’intégrale 
b 
ci-dessus s’écrira I f[x)dx et s’énoncera somme (on intégrale), 
depuis a jusqu’à b, de f{x) dx. On a eu de même, plus récemment, 
l’idée d’exprimer la différence, F(6) — F(a), des deux valeurs que 
prend une fonction F (x) à deux limites b et a, en mettant entre 
crochets ou entre parenthèses l’expression considérée et en inscrivant, 
à la suite, les deux limites, l’une a, au bas, l’autre b, en haut. Grâce 
à ces notations, la relation (i) se mettra donc sous la forme très con 
densée 
/. 
a 
253. — Propriétés diverses qui en résultent. 
Plusieurs remarques importantes découlent immédiatement des 
considérations qui précèdent. 
i° On peut partager la suite des éléments de Vintégrale en un 
nombre quelconque de groupes, contenant chacun une infinité 
d’éléments consécutifs, et constituant tout autant cVintégrales par 
tielles. On fera, par exemple, varier x non pas, d’un seul coup, de a 
à b, mais de a à une valeur quelconque c, puis de c à une autre valeur 
quelconque h, et ainsi de suite, pourvu que, finalement, x s’arrête à 
la valeur b : c’est ce qu’exprimera, par exemple, l’égalité 
p ¿ pC ,.h b 
(3) f f{x)dx— I f(x) dx -+- / f(x)dx-1- f(x)dx. 
a 
c 
Et rien n’obligera même à prendre, pour les limites auxiliaires c, 
h, ..., des quantités comprises entre les limites données a, b; car