LEURS PROPRIÉTÉS LES PLUS SIMPLES. 
nous avons vu que x n’est pas astreint à varier toujours dans un même 
sens, c’est-à-dire de a vers b. Toutefois, pour plus de simplicité et 
pour éviter parfois certaines difficultés, provenant de ce que la 
fonction f{x) pourrait devenir infinie ou mal déterminée en dehors 
de l’intervalle des limites «, b, on suppose, à moins d’avis contraire, 
que x varie constamment de a vers b, en grandissant sans cesse ou 
diminuant sans cesse, de sorte que tous les dx aient le même signe. 
2° Quand on échange entre elles les deux limites, l’intégrale 
conserve la même valeur absolue, mais prend signe contraire. En 
a 
f{x)dx. Effectivement, on a 
d’autres 
d’après la remarque précédente 
ffx)dx+ f f{x)dx = f{x) dx. 
a 
Or l’intégrale / f{x)dx est identiquement nulle, vu qu’elle ne 
contient point d’éléments, son champ a — a se trouvant réduit à zéro. 
On pourra donc toujours, en changeant, s’il le faut, le signe de l’in 
tégrale, avoir une limite supérieure plus grande que la limite infé 
rieure. Comme, de plus, la variable d’intégration, x, sera censée 
aller constamment de sa limite inférieure vers sa limite supérieure, 
elle croîtra, et toutes ses différentielles dx seront positives. C’est ce 
que nous supposerons désormais à moins d’avis contraire. 
3° Quand, pour toute valeur de x intermédiaire entre les limites 
a, b, la fonction f[x)se trouve comprise entre deux autres, y{x) et 
^{x), l’intégrale proposée f f{x) dx est aussi comprise entre les 
deux intégrales / cp(x) dx et f ty{x) dx. 
En effet, lorsqu’on a 
<pO) </0) < 
(4) 
pour toutes les valeurs considérées de x, il vient, en multipliant les 
trois membres de cette inégalité par le facteur positif dx, 
y(x) dx < f{x) dx < dx, 
et, si l’on failles sommes des valeurs que reçoivent simultanément les 
trois membres de celle-ci quand x croît de a à b, la première des 
b 
trois sommes, / © (x) dx, est moindre que la deuxième, f{x)dx, 
laquelle se trouve, elle-même, plus petite que la troisième, tyfi) dx.