6o 
APPLICATION DIRECTE DE L’INTÉGRATION PAR PARTIES 
Cette relation, en y faisant successivement m — 2, m = 6, ..., 
permettra de trouver I 2 , I 4 , I 6 , à partir de l’intégrale I 0 , qui n’est 
tc 5 
J /* 2 /*2 Î 
f sin°^£/^= / dx ■= {¿c)l = - • On obtiendra ainsi, 
0 «A 2 
pour toutes les valeurs de l’exposant m qui sont paires, ou de la 
forme 2 n, les intégrales proposées. Il viendra successivement 
T _ 3 T _ 1 3 * 
l 14 - 4 2 ~ 2 4 2 ' 
I9«. — 
2 2 ’ 
1 3 
2 4 
2 n — T TC 
m 2 
On aura donc 
(n) 
r 
sin 2№ a? ¿¿a? 
r 
cos 2 "a? dx 
i 3 5 
246 
l TC 
2 
La même relation (xo), en y posant m = 3, m = 5, ..., m = 2n-\-i, 
donnera pareillement I 3 , ï 5 , . . ., I 2/£+1 , à partir de l’intégrale 
Ii- 
X 
TC 
2 
sina? dx, 
qui, d’après (8), a pour valeur l’unité. On trouvera ainsi 
1 ;■ 
ou bien 
4 _ 2 4 
5 ls 3 5 
_ 2 4 6 
2 " +1 ~ 3 5 7 ' 
2 n 
2 n -1- I 
(12) J SÌlì^n+l x dx = f 
d0 dn 
n + l xdx— I cos 2fi+1 xdx= % - - 
0 3 * 7 
L’intégrale I //£ est donc, alternativement, commensurable et puis 
affectée de la même irrationnalité que le nombre x, quand la valeur en 
tière de l’exposant positif m, après avoir initialement égalé 1, croît sans 
cesse d’une unité. Or deux valeurs commensurables consécutives, I 2/£ _i 
et Lii+i par exemple, comprennent entre elles la valeur incommensu 
rable l 2/l correspondant à l’indice pair intermédiaire2n: car, pour x plus 
grand que zéro et inférieur à ^, siiiÆ est un nombre positif moindre 
que r, dont les puissances successives sont de plus en plus petites; de