A CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES : FORMULE DE AVALEIS. 
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sorte que l’on a sin 2 "- 1 ^ > sin 2re ¿c > sin 2 " +1 ¿p, et, par suite, 
/ 1 r 2 rï 
sin 2 " -1 a? dx > / sin 2re # dx > I sin‘ ln +' l xdx 
*'o Jo 
(l3) lira— I ^2n^> *ïn+l- 
Par conséquent, le rapport incommensurable y 2n se trouve, à la 
t2«+l 
fois, supérieur à l’unité et moindre que le rapport commensurable 
| 2 " -1 , égal, d’après la formule générale (12), à la fraction — - ' --, 
*211+1 ‘ 1Tl 
dont l’excédent sur l’unité tend vers zéro quand n grandit. Ainsi 
* 2ra - tend lui-même vers l’unité; oar, si l’on appelle i + e sa valeur, £ 
*2n+1 
ne pourra être qu’une partie de —. 
Or de là résulte, pour le nombre tc, ou plutôt pour sa moitié qui 
entre dans la formule de I 2 „, une expression remarquable, due àWallis, 
géomètre anglais du xvn e siècle ( 1 ). En effet, l’égalité 
I2 n = ( 1+ S)I 2 7H-1, 
si l’on y remplace I 2re , \ in+l par leurs valeurs (11) et (12), puis qu’on 
isole -j donne, en divisant finalement par i + e, 
TC _ 2 2 4 4 2« 9n _ 1 2 4 2 (2ttj 2 
^ 2(1 + e) _ I 33 5 2«-I 2B + I 2 2 I 4 2 — 1 (2ft) 2 — 1 
Faisons croître n indéfiniment, de manière à rendre s nul, et nous 
aurons 
, . TC _ 2 2 4 4 6 6 _ 2 2 4 2 fi 2 
2 1 3 3 5 5 7 2 2 — I 4 2 — 1 fi 2 — 1 
C’est la formule de Wallis, qui fait, comme on voit, du rapport ^ 
de la demi-circonférence au diamètre, la limite du produit des fractions 
commensurables ayant pour numérateurs la suite des carrés pairs et 
pour dénominateurs les nombres impairs immédiatement inférieurs à 
ces carrés. 
(’) On a déjà vu dans le Calcul différentiel ( t. I, p. 28*) que la décomposi 
tion de sin# en facteurs y conduit également.