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DES INTÉGRALES DEFINIES A CHAMP D INTEGRATION INFINI 
à moins que la nature de la question où elle se présentera n’impose 
une certaine manière de faire évanouir s et e 1} en déterminant leur 
rapport limite. 
259. _ Des intégrales définies à champ d’intégration infini. 
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Considérons actuellement une intégrale définie, / f{x)dx, dans 
laquelle on fait grandir indéfiniment en valeur absolue une des limites 
¿t, b, ou toutes les deux. S’il arrive que l’intégrale tende en même 
temps vers une quantité déterminée, celle-ci sera dite sa valeur poul 
ie cas où les limites qu’on a fait varier seraient infinies. Si, au con 
traire, l’intégrale grandit indéfiniment en valeur absolue, ou se main 
tient finie sans tendre vers aucune valeur spéciale, on dira qu’elle de 
vient soit infinie, soit indéterminée. Par exemple, ces derniers cas se 
-y. , x 
présentent, respectivement, pour cosxdx, qui ont 
leurs valeurs, \ogx et sin^r, la première, infinie, la deuxième, arbi 
traire entre —i et + i, quand on y rend infinie la limite supérieure 
x d x 
— > exprimée par 
l’intégrale 
x. Au contraire, 
tend vers l’unité lorsque sa limite supérieure croît idéfiniment : on 
Le cas le plus intéressant est évidemment celui où l’intégrale tend 
de la sorte vers une valeur déterminée, puisqu’elle conserve, même à 
la limite, une signification précise. Si, dans les éléments qu’elle gagne 
à mesure que grandit le champ d’intégration, la fonction f{x) finit par 
changer de plus en plus fréquemment de signe, de manière que ces élé 
ments forment des groupes ayant leurs sommes partielles de signes al 
ternés aussi, et décroissantes jusqu’à l'infiniment petit quand on passe 
d’un groupe aux suivants, l’intégrale constituera, comme on voit, à la 
limite, une série de termes décroissants successivement positifs et 
négatifs, série qu’on sait être toujours convergente. Il est clair 
qu’alors, pour que l’intégrale reste finie et déterminée, la fonction 
f (x) ne sera nullement tenue de tendre vers zéro à mesure que la 
valeur absolue de sa variable grandira. Et elle n’y sera pas tenue 
davantage si, sans changer de signe, elle présente indéfiniment des