126 Zehnter Abschnitt. 
Da ferner FE --- ED, so ist aud) FE 2 = ED 2 = DB 2 + 
BE 2 = AB 2 -f- BE 2 . Stellen wir nun die beiden glei 
chen Werthe von EE 2 zusammen/ so erhalten wir EB 2 -+- 
BE 2 + AB x BF = AB 2 + BE 2 , Nehmen wir zu 
beiden Seiten BE 2 hinweg; so bleibt Gleiches/ nämlich 
FB 2 + ABxBF = AB 2 . Es läßt sich aber AB 2 nach 
(V. 9.) in die beiden Rechtecke BA X AE und AB X BE 
zerlegen; setzet man diese für AB 2 / so erhält man FB 2 + 
AB X BF = BA X AE + AB x BF/ und wenn Man 
NUN zu beiden Seiten AB X BE hinwegnimmt: EB 2 ----- 
BA x AB/ was erwiesen werden sollte. 
§.2. Aufgabe. 
Ein gleichschenkliges Dreieck zu zeichnen/ in welchem 
der Winkel an der Spitze halb so groß ist, wie der 
Winkel an der Grundlinie. 
Auflösung. Man theile nach dem vorhergehenden Paragra 
phen eine Linie AB (Fig. iio.) bei E so, daß AC 2 ----- 
AB x BC, und errichte über der Grundlinie AL ein 
gleichschenkliges Dreieck AVE, dessen Schenkel der ganzen 
Linie AB gleich ist; so erfüllt dies die Bedingungen der 
Aufgabe, und der Winkel ADC = |ACD. 
Beweis. Man schneide von der Spitze D auf dem Schenkel 
VA ein Stück VE ab, welches der Grundlinie AE gleich 
ist, lege durch die Punkte D, E, E, einen Kreis (VI. 15.), 
und ziehe EE; so läßt sich beweisen, daß AE eine Tangente 
dieses Kreises ist. Da nämlich AD — AB/ und ED = AE, 
so ist auch AE ----- EB. Folglich, da AE 2 = AB x BC, 
so ist auch AE 2 — DA x AE, mithin AE eine Tangente 
(VII. Anh. 5.). Da nun EE eine Sehne ist, so ist der Win 
kel AEE — EDE (VII. 8.). Es ist ferner der Winkel 
AEE ----- EED + EDE (II. 10.), und da EDE = AEE, 
so AEE = EED + EGA --- AED. Nun ist Winkel 
AED ----- EAD, mithin AEE ---- EAE/ woraus folgt, daß 
auch EE ----- EA (III. 9.). Dann ist aber auch EE ---- ED 
und das Dreieck EED gleichschenklig, und Winkel EED --- 
EDE; da aber auch der Winkel EEA ----- EDE, so ist der