Von Verhältnissen und Proportionen. 131 
auch genau durch eine Zahl ausgedrückt wird, oder auch 
mit einem Fehler, der aber so klein gemacht werden 
kann, als man will. 
Beweis. Der Satz folgt eigentlich unmittelbar aus der Er 
klärung; denn hat man zwei Linien A und B vor sich, und 
man findet/ daß der rate Theil von A, »mal genommen/ 
genau B mißt/ so ist klar/ daß sich die Linie A ; B genau/ 
wie die Zahlen m n verhalten. 
Fände sich aber kein Theil von A/ durch welchen B genau ge 
messen würde/ es fei nun/ daß es keinen solchen Theil giebt, 
oder daß man ihn nur nicht kennt; so ist klar, daß, wenn 
man dennoch B mit dem raten Theile von A mißt, der 
letzte Rest, der sich nicht mehr messen läßt, kleiner sei, als 
der messende Theil. Da man nun aber in Gedanken A 
in beliebig viele Theile theilen, und also Einen solchen 
Theil so klein machen kann, wie man will, so ist klar, daß 
man auch den nicht meßbaren Rest von B kleiner machen 
könne, als jede gegebene Größe. Wenn also A in ra Theile 
getheilt gedacht wird, und man annimmt, daß auf B solcher 
ganzen Theile n gehen; so drückt die Zahl ra zwar den 
Werth von A genau ans, aber n drückt die Größe von B 
mit einem Fehler aus, der kleiner ist, als der rate Theil 
von A. Ist dieser Theil nun so klein, daß ein Rest, der 
noch kleiner ist, aus der Acht gelassen werden darf; so kann 
man allerdings sagen, daß das Verhältniß A - B durch das 
Verhältniß zweier ganzen Zahlen ra: n ausgedrückt sei. 
Die einzige hiebei zu machende Arbeit sei die Auflösung fol 
gender Aufgabe: 
Zwei beliebige gerade Linien A und B zu zeichnen, und ihr 
Verhältniß durch zwei ganze Zahlen so zu bestimmen, daß 
der Fehler der zweiten Zahl kleiner sei, als der sechzehnte 
Theil von A. 
Anmerkung. Man wird leicht bemerken, daß, wenn hier von 
theilen und messen geredet wird, nicht die Rede sei von Ar 
beiten der Hand und des Auges, sondern des Verstandes. 
Auge und Hand kommen mit dem Theilen und Messen bald 
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