Von Verhältnissen und Proportionen. 139
Die hieraus folgenden Regeln der Beurtheilung sind wört
lich auszudrücken/ und durch Beispiele zu erläutern.
§.15. Lehrsatz.
In jeder Zahlen Proportion ist das Pro
duct der äußeren Glieder dem Produkte der
mittleren gleich.
Anleitung zum Beweise.
2. Angenommen/ daß die vier Größen A, B, C, D/ durch
Zahlen ausgedrückt/ eine richtige Proportion bilden/ näm
lich A : B = C ; D/ so bilde man nach (§. 5.) die Anzei
ger beider Verhältnisse/ und setze sie nach (§. 6. b.) gleich.
Multiplicirt man nun beide Quotienten durch das Produkt
ihrer Divisoren/ so ergiebt sich die Richtigkeit des Lehr
satzes.
b. Da der Lehrsatz von Zahlenproportionen handelt, so ist noch
zu überlegen/ ob/ und unter welchen Bedingungen er auf
alle Proportionen anwendbar sei/ auch wenn die Glieder
derselben Linien/ Flächen/ Winkel oder überhaupt Größen
einer besonderen Art sind? Die Antwort darauf ergiebt
sich aus (§. 13.).
§.16. Aufgabe.
Es sind die drei ersten Glieder einer Proportion ge
geben; man soll das vierte durch Rechnung finden.
Anleitung zur Auflösung und zum Beweise. Wenn
man die drei gegebenen ersten Glieder A, B, C, und das
vierte gesuchte x nennt/ so heißt die zu betrachtende Pro
portion A B — C x. Wendet man auf diese den Lehr
satz (§. 15.) an/ so ergiebt sich sehr leicht die Auflösung/
welche als unmittelbare Folgerung aus einem bewiesenen
Lehrsätze keines besonderen Beweises bedarf.
Die Regel ist übrigens a) durch eine Buchsrabenformel und
b) in Worten auszudrücken.