Von Verhältnissen und Proportionen. 443 
Auch dieser Beweis kann auf ganz ähnliche Art/ wie bei den 
beiden vorhergehenden §. §. geführt werde«/ nur kommt 
hier (§, 9.) statt (§. 7. und 8.) in Betrachtung. 
§. 25. Zusatz c. 
Es ist leicht einzusehen, daß man durch Verbindung 
von (§.21, 22, 23. und 24.) aus jeder Proportion 
eine Menge anderer ableiten könne. 
Wieviel Proportionen erhalt man wohl, wenn man auf eine 
gegebene Proportion erst von (§.22,23. und 24.) und dann 
auf alle vorliegenden (mit Einschluß der gegebenen) von 
(§.2i.) Anwendung macht? 
Im Hauptheft ist es genug, diese Fragen bestimmt zu beant 
worten. Im Übungsheft aber sind aus einer Buchstaben 
proportion, wirklich alle diese Proportionen abzuleiten. 
Anmerkung. Eigentlich kann aus einer einzigen Proportion 
eine Unendlichkeit von anderen richtigen Proportionen abge 
leitet werden. Denn theils kann man (§. 22. bis 24.) wie 
derholt auf jede abgeleitete Proportion anwenden, theils 
kann man nach (§. 10. und ii.) noch andere Veränderun 
gen mit einer Proportion vornehmen. Man kann nämlich 
unbeschadet der Richtigkeit das erste und zweite Glied, des 
gleichen das dritte und vierte mit einer und derselben Zahl 
multipliciren oder dividiren. Ja, aus (§. 20.) wird man 
leicht schließen, daß man eben so auch das erste und dritte, 
desgleichen das zweite und vierte Glied, mit einer und der 
selben Zahl multipliciren oder dividiren könne. Durch An 
wendung aller dieser Sätze ist es möglich, aus jeder Zah 
len - Proportion jede andere beliebige abzuleiten. 
Zu einer nützlichen Übung in der Anwendung der vorgetrage 
nen Sätze wähle man sich im Übungsheft zwei ganz belie 
bige Zahlen - Proportionen (z. B. 6 : 17 = iS : 51 und 
15 : 9 = 5 : 3) und versuche nun durch dergleichen Ab 
änderungen die eine in die andere zu verwandeln. Möglich 
ist die Verwandlung jederzeit; man muß aber suchen mit 
der möglichst geringen Anzahl von Abänderungen fertig 
zu werden.