Von Verhältnissen und Proportionen. 147 
Theil derselben als ein Bruch vorgestellt werden könne/ 
dessen Zähler 1/ und -essen Nenner eine ganze Zahl ist/ 
(als h h h I u.f,w./ und/ wenn n eine ganze Zahl be 
deutet/ ss). 
Ist nun n irgend eine beliebige noch fo große ganze Zahl/ so 
laßt sich ohne Schwierigkeit beweisen/ daß es zwei Linien 
AB und CF (Fig. 112,) (oder zwei andere Größen) geben 
könne/ deren Verhältniß so beschaffen ist/ daß die eine CF 
weder durch von AB/ noch durch irgend einen andern 
genauen Theil von AB, dessen Nenner kleiner als n 
ist/ gemessen werden kann. 
Zu dem Ende sei CO irgend ein genaues Vielfaches von4 AB. 
Jetzt stelle man sich vor/ daß AB auch in n — i, n — 2, 
n — 3 je. Theile,bls zu 2 und i Theil herab getheilt wor 
den, und daß jeder solcher Theil auf CO von C aus so oft/ 
als es angeht/ sei getragen worden/ daß man aber bei je 
dem Theile höchstens bis v/ bei keinem über O hinaus ge 
schritten sei; so ist klar/ daß unter v eine Menge Theil 
punkte liegen werden/ nämlich von solchen Theilen, durch 
welche sich CD nicht genau messen ließ. Irgend einer die 
ser Theilpunkte muß der nächste bei 0 sein. Dieser sei F. 
Da E mit O nicht zusammenfällt/ so ist zwischen ihnen noch 
eine Ausdehnung EO. Innerhalb dieser nehme man ir 
gendwo den Punkt F/ so ist augenscheinlich, daß CF eine 
Länge ist, die weder durch i, noch durch i, rc. bis 
~ von AB gemessen wird. 
Diese Schlüsse bleiben aber gültig, wie groß man auch n an 
nehme. Da nun der Verstand in der Vergrößerung von n 
durchaus keine Gränzen kennt, so kann man auch n unend 
lich groß denken, und dann ist klar, daß kein einziger end 
licher genauer Theil von AB die CF messen werde, d. h., 
AB und CF werden incommensurabel sein. 
§.4. A n m e r k u n g. 
Man sieht leicht ein, daß, wenn im vorigen §. 
von Theilungen der AB geredet wird, nicht von solchen 
Theilungen die Rede sein könne, die vermittelst der Hand 
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