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Dreizehnter Abschnitt. 
nach einem Punkte der Peripherie des aus A beschriebe 
nen Kreises gezogen werden, dem Verhältnisse CE : ED 
gleich sei, woraus sich durch Umkehrung herleiten läßt, daß, 
wenn man eine Linie CD bei E in einem bestimmten Ver 
hältnisse getheilt hat, und über und unter derselben lauter 
Dreiecke errichtet, so daß die andern beiden Seiten, das 
selbe Verhältniß CE zu ED haben, die Spitzen dieser 
Dreiecke in einer Kreislinie liegen, deren Halbmesser 
man erhält, wenn man das vierte Glied zu einer Pro 
portion sucht, deren erstes die Differenz der beiden Theile 
der Grundlinie (DE — CE), das zweite der kleinere 
Abschnitt derselben (CE), und das dritte der größere 
(DE) ist. 
Um den Beweis dieses Satzes vollständig zu führen, muß man 
zeigen, a) daß (Fig. 137.) kein Dreieck möglich ist über der 
Grundlinie CD, dessen Seiten das Verhältniß CE ED 
haben, und dessen Spitze nicht in der Peripherie des Krei^ 
ses GBEF läge; darauf b) daß die Proportion richtig sei, 
DE-CE;CE = DE: AE. 
Um (a) zu beweisen, nehme man an, daß H außerhalb des 
Kreises die Spitze eines Dreiecks über der Grundlinie CD 
wäre, in welchem CH : HD = CE : ED. 
Es ist aber auch nach (§.5.) CF : ED — CE : ED, und da 
dieses Verhältniß dem von CB : BD gleich ist, in welchem 
BD größer als BC, so ist auch DE größer als EC; mithin 
würde aus der Proportion CH - HD — CE : ED, und 
der Gleichheit des Winkels ECD in beiden Dreiecken die 
Ähnlichkeit der Dreiecke CHD und CFD folgen, (XII. 15.) 
welche aber unmöglich ist, da der Winkel CED größer als 
CHD, Ganz auf dieselbe Art wird der Beweis geführt, 
wenn der Punkt H innerhalb des Kreises angenommen wird. 
Um (b; zu beweisen, nehme man mit der im Beweise von 
(§. 5. a.) gefundenen Proportion CE ; ED = AE ; AD 
die Umkehrung (XI. 19.), und mit der dann erhaltenen die