Proport, im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 191
('XI. 23.) angegebene Veränderung vor, so erhalt man DE
— EC : CE = ED AE, was zu zeigen war.
§.7. Lehrsatz.
Wenn vier Linien eine richtige Proportion bilden,
so ist das Rechteck unter den inneren Gliedern, dem
Rechteck unter den äußeren gleich.
Anleitung zum Beweise. ES sind die Linien a, b, c, d,
(Fig. 138.) so gegeben, daß a : b = c : d. Es soll bewie
sen werden, daß das Rechteck unter a und d, dem Rechteck
unter b und c gleich ist.
Man ziehe (Fig. 129.) zwei Linien, die sich unter einem be
liebigen Winkel durchschneiden; von dem Durchschnittöpunkte
E trage man auf der einen nach entgegengesetzten Seiten,
die inneren Glieder der gegebenen Proportion ab, so daß
EC = b / ED = c, und auf der anderen nach einer Seite
hin das erste, daß also EA — a, dann beschreibe man durch
die drei Punkte A, C und D einen Kreis (VI. 15.), und
verlängere AE bis an die Periepherie desselben, bis B.
Nun ist aus (§.6. des Abschn.) klar, daß AE : CE — ED ; EB,
da aber auch a : b = c : d; so ttf EB = d (XII. 7. b.).
Da nun nach (VI. Ayh. 7.) die Rechtecke AE x EB und
CE x ED gleich sind, so ist die Richtigkeit des Satzes
erwiesen.
§.8. Zu s a H.
Die Anwendung des vorigen Lehrsatzes auf eine
stätige Proportion läßt sich aus dem vorigen §. herlei
ten; doch kann auch unmittelbar bewiesen werden, daß
das Quadrat des mittleren Gliedes dem Rechteck unter
den äußeren gleich ist.
Der unmittelbare Beweis ergiebt sich aus (I. des Abschn.) und
(V. 22.) bezogen auf (Fig. 53,),