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Dreizehnter Abschnitt.
§. 9. Lehrsatz.
In einem Viereck, -essen Seiten Sehnen eines Krei
ses sind, ist das Rechteck unter den beiden Diagonalen
so groß, wie die Summe der beiden Rechtecke, die von
je zwei Gegenseiten der Figur eingeschlossen werden.
Anleitung zum Beweise. In den Kreis (Fig.iV.) ist
das Viereck AB CD eingeschrieben. ES soll bewiesen wer
den, daß AC X BD = AB x CD -f- AD X BC,
Man lege an AD in A den Winkel DAE = CAB an, so
erhält man die ähnlichen Dreiecke DBA und ABC, da
auch die Gleichheit der Winkel ADD und ACB deutlich
' ist (VI. 19.). Daraus ergiebt sich die Proportion:
AD;DE = AC: CB.
Außerdem sind aber auch die Dreiecke ALB und ADC ähn
lich/ da der Winkel ABE ----- ACD (VI. 19.) und DAC ----
EAB, welche letzteren aus gleichen Stücken bestehen. Dar
aus folgt die Proportion AB : BE = AC ; CI).
Aus der ersten Proportion ergiebt sich ADxCB = DExAC
(§, 7.), aus der zweiten AB x CD — BE x AC.
Addire» wir, was auf jeder Seite des Gleichheitszeichens steht,
so erhallen wir:
AD X CB + AB X CD = DE X AC + BE x AC;
oder, da sich die letzten beiden Rechtecke nach (V. 9.) vereini
gen lassen,
AB X CD + AD x CB = DB x AC; was zu erweisen war.
§.10. Lehrsatz.
Wenn man von einer Winkelspitze eines in einen
Kreis eingeschriebenen Dreiecks einen Durchmesser und
ein Loth auf die Gegenseite des Winkels zieht; so bil
den die vier von diesem Punkte aus gezogenen Linien
eine richtige Proportion, wenn man die Seiten des
Dreiecks zu äußern, das Loth und den Durchmesser aber
zu inneren Gliedern macht.