Proport. im Kreise, Ähnlichkeit d. Polygone. 193 
Anleitung zum Beweise. In (Fig. läo.) ist von der 
Spitze A des Dreiecks ABC, dessen Seiten Sehnen des 
Kreises sind, der Durchmesser AD, und auf die Seite CB 
das Loth AB gezogen. Es ist zu zeigen, daß AC : AD = 
AE : AB. 
Man ziehe die Hülfslinie DB, so ergiebt sich leicht die Ähn 
lichkeit der Dreiecke DBA und CE A, weil der Winkel DBA 
--- CEA (V. 18.), und BDA = BCA (VI. 19.); daraus 
aber folgt die gedachte Proportion. 
Der Satz bleibt richtig, wenn auch das Loth AE die Ver 
längerung der Sehne CB träfe. Der Beweis lautet eben 
so, wenn man die Zeichnung so macht, daß CB über 8 
hinaus verlängert wird. 
§.11. Lehrsatz. 
'Wenn zwei Sehnen eines Kreises sich winkelrecht 
durchschneiden, und man zeichnet ein Viereck in den Kreis, 
zu welchem diese Sehnen die Diagonalen werden; so ist 
a) die Summe der Quadrate von jeden zwei Gegen 
seiten des Vierecks, b) die Summe der Quadrate aus 
den vier Abschnitten der Diagonalen dem Quadrate des 
Durchmessers gleich. 
Anleitung zum Beweise. In (Kg. i4i.) schneiden sich 
die Sehnen £B und CD rechtwinklig in E, und sind Dia 
gonalen des Vierecks ACBD. Von A aus ist der Durch 
messer AE gezogen. Es soll nun bewiesen werden, a) daß 
AC 2 + BD 2 — CB 2 + AD 2 = AE 2 , und b) daß 
AE 2 -f- EB 2 + CE 2 -+■ DE 2 ---- AE 2 . 
Als Hülfslinien zum Beweise von (a) ziehe man FD und 
EC; so ist nach (§. 10.) DA : AE — EA : AC, und da 
auch Winkel ADE — AEC, so sind (XII. 15.) die Dreiecke 
ADE und AEC ähnlich, folglich die Winkel DAF und 
CAB gleich; daraus folgt aber, daß CB — DF (VI. 19. 
VI.3,), Da nun AE 2 --- AD 2 + DF 2 , so ist auch AE 2 
= AD 2 + CB 2 , 
Fischer'S eb. Geom. ^ N