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Fünfter Abschnitt. 
Es ist also zu beweisen, daß, wenn man (Fig 56.) von der 
Linie AC das Stück BC abschneidet, 
AB 2 = AC 2 + BC 2 — 2 [AC X CB.]. 
Man mache die Zeichnung durchaus eben so wie im vorigen §., 
nur setze man an IE noch das Quadrat IL — BC 2 , so ist 
AD-ML = AC 2 + BC 2 , ferner ist BD---BE = ACxBC. 
Nimmt man aber diese beiden Rechtecke von der Summe je 
ner beiden Quadrate hinweg, so bleibt übrig AH — AB 2 . 
Anmerkung. Auch dieser Satz ist der arithmetischen Formel 
(3 — 6) 2 = a 2 — 2 ab -f- b 2 ähnlich. 
§.14. Lehrsatz. 
In einem stumpfwinkligen Dreiecke sind die Qua 
drate der beiden Schenkel des stumpfen Winkels klei 
ner als das Duadrat der dritten Seite, und zwar um 
ein doppeltes Rechteck, dessen eine Seite der eine Schen 
kel des stumpfen Winkels, die andere aber die Verlän 
gerung dieses Schenkels bis zu dem aus dem Gegen 
winkel gefällten Lothe ist. 
In dem bei A (Fig. 57.) stumpfwinkligen Dreieck ABC ist 
der Schenkel BA verlängert, und auf die Verlängerung aus 
C das Loth CD gefallt. Es ist also zu beweisen, daß 
BC 2 = BA 2 + AC 2 -f- 2 [BA x AD.], 
Beweis. Nach (i4. b. des Abschn.) ist: 
BC 2 --- BD 2 + DC 2 . 
Aber BD 2 = BA 2 + AD 2 + 2 [BA x AD] (12 d. Anh.), 
und DC 2 — AC 2 — AD 2 (15. des Abschn.). Setzt man 
diese Werthe statt BD 2 und DC 2 , so ergiebt sich: 
BC 2 --- BA 2 + AD 2 -h 2 [BA x AD] + AC 2 — AD 2 . 
Da sich -h AD 2 und — AD 2 heben, so ist das übrig blei 
bende der zu erweisende Satz. 
§. 15. Lehrsatz. 
In jedem Dreiecke sind die Quadrate der Schenkel 
eines spitzigen Winkels zusammengenommen, größer als