Gleichheit der Parallelogramme und Dreiecke. 61 
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das Quadrat der dritten Seite, und zwar um ein dop 
peltes Rechteck, dessen eine Seite ein Schenkel des spitzi- 
gcn Winkels, die andere aber ein Stück desselben ist, 
I was zwischen einem von dem Gegenwinkel dieses Schen 
kels gefällten Lothe, und dem Scheitelpunkte des spitzigen 
! Winkels liegt. 
In dem Dreieck ABC (Fjg. 58,) ist der Winkel BAC ein 
spitziger. Aus dem Endpunkte des einen Schenkels C ist 
ein Loth CD auf den anderen gefällt; es ist daher zu be 
weisen, daß 
BC 2 = BA 2 + AC 2 -2 [BA x AD.]. 
Der Beweis ist dem vorhergehenden vollkommen ähnlich, und 
stimmt selbst in Ansehung der Buchstaben mit ihm überein, 
Nur daß hier in dem Werthe von BD 2 (weil BD = BA 
— AD) das doppelte Rechteck nach (13. des Anh.) das 
Zeichen (—) erhält. 
§. 16. Lehrsatz 
Die Quadrate der vier Seiten eines Parallelogram 
mes sind zusammengenommen so groß, als die Quadrate 
der beiden Diagonalen zusammengenommen. 
ES ist also in (Fig. 59.) zu beweisen, daß 
AD- -h CB 2 — AG 2 -f- CD 2 + DB 2 -f- BA*. 
Bei dem Beweise sind zwei Falle zu unterscheiden: a) wenn 
die Figur ein rechtwinkliges, b) wenn sie ein schiefwinkli 
ges Parallelogramm ist; 
Der Beweis für (a) ist sehr leicht zu finden; denn gesetzt 
CB wäre rechtwinklig, so folgte aus (1-4. b. des Abschn.), 
Laß CB- = CD 2 + DB 2 und AD 2 — CD 2 -h CA 2 ; 
woraus der Satz unmittelbar folgt, (da CD — AB). 
Zum Beweise für (b) falle man aus den Endpunkten einer 
Seite AC zwei Lothe AD und CB auf die anstoßenden 
Seiten CD und AB, so ist im Dreieck ACD nach (15. 
des Anh.): 
AD 2 AC 2 + CD 2 -h 2 sDC x CE',