l) Jacobi, Werke, t. YI (1891), p. 144 et suir. Sch. 
XLII 
SUR UN DÉVELOPPEMENT EN FRACTION CONTINUE. 
PAR CH. HERMITE ET L. FUCHS. 
(Acta Mathematica, t. 4, 1884, p. 89—92.) 
1. Extrait d’une lettre adressée à M. Hermite par M. Fuchs. [89 
Peut-être vous intéressera-t-il de voir la manière dont je me suis dé 
montré votre théorème ainsi énoncé: 
»Soit a et /3 deux exposants dont la somme a + p = k, k étant entier et 
positif, et ~ la réduite d’ordre n du développement en fraction continue de 
{x — à) a {x — hf. Les polynômes A et B, des degrés n et n + k, se déterminent, 
sauf un facteur constant, en posant; 
(L) D n x [{x-a) n+a (x-b) n+ ?] = ( ; x-d) a {x-bfA, 
(IL) d ”+*[(x-a) n+k - a (x-h) n+k -( i ] = (x — à)~ a {x — b)~P R«. 
D’abord comme on peut changer l’expression {x — a) a (x—bY au moyen d’une 
substitution linéaire et entière en t a {l — je considère immédiatement une 
telle expression, ou plutôt ¡£*(1 — æ) u , en mettant A et ^ au lieu de a et /3. 
Je me restreindrai à la démonstration de la formule (L), parce qu’on 
peut procéder de la même manière pour prouver la seconde. 
Il suit d’une formule donnée par Jacobi, dans un mémoire posthume [90 
(Journal de Bobchardt t. 56, p. 149 a ), § 3), que l’on a l’équation: 
(1.) D" [x n+ \l - x) n+ ^] = (1 + A) (2 + X)... (n + A) x k (1 - xf F{- n, k + n + 1, 1 + A, x).