ÜBER ALGEBRAISCH INTEGRIRBARE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 
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Es kann nicht f = cp n sein, weil aus cp n = 0 sich y] = constans ergeben 
würde. Es kann andererseits, da cp o = 0, nicht auch cp n identisch verschwinden, 
demnach ist cp n und wenigstens für noch einen Werth des Index l von 
Null verschieden. Aus (10a.) ergiebt sich daher, dass [i und v folglich auch 
y und M reale und rationale Zahlen sind. 
Da die linke Seite von (12.) nach einem Umlaufe von £, wie leicht zu 
sehen, identisch in sich selbst übergeführt werden muss, so ist die HnssEsche 
Determinante derselben 
~{y\ +v y7yl 1 Y{yiy2y,)~\ 
also nach Gleichung (12.) die Function y x y 2 y 3 gleich der Wurzel einer ratio 
nalen Function. Es sei 
(12a.) 
y2 y3 
wo <|> Wurzel einer rationalen Function. 
Aus (12a.) ergiebt sich 
(13.) u 1 + u 2 + u 3 = V - 
Aus den Gleichungen (5.) und (13.) folgt 
(14.) 
u 0 = 
2 ~? „ , Y-1 dlog ^ 
"f 
2y — 1 1 2y — 1 dz 
Die Function u 2 ist aus u x durch einen Umlauf U der Variablen z hervor 
gegangen. Da die Wiederholung des Umlaufes U nur eine endliche Anzahl 
verschiedener Zweige der algebraischen Function u t hervorbringen kann, so 
muss, da wegen der Irreductibilität der Gleichung (A.) u x nicht eine ratio 
nale Function ist, e ^ ne ganzzahlige Wurzel der Einheit sein, d. h., da 
y eine rationale Zahl, 
2 — y 
(15.) 
2y — 1 
= ± 1. 
Da y = 1 auszuschliessen ist, so müsste y — — 1 sein, demnach [475 
Gleichung (14.) in 
(14a.) 
2 d log d» 
“ i= -“■+3 
übergehen. Da u t1 u 2 beliebige Zweige der Function u x sind, so ergäbe