nämlich dasjenige System, welches aus (a t , a 2 ,..a m ) durch die inverse Sub 
stitution von S hervorgegangen ist. — Substituiren wir (7.) in (5.), so folgt 
(8.) W = [I K 2) w t + af w 2 + — + a%w m \, 
wo n von z unabhängig. Setzen wir allgemein 
(4a.) W l = of\v 1 + afiv,+ -- + a%w n , (1 = 0,1, 
so ergiebt sich aus (8.), dass die Zweige der Function W, bis auf constante 
Factoren, mit W 0 , W i7 W r i übereinstimmen. Wir erhalten also den Satz: 
I. Ist a t , a 2 , ..., a m ein System gegebener von z unabhängiger 
Grössen, und sind diejenigen Systeme, welche aus dem gegebenen 
durch Transformation vermittelst der Gesammtheit der zu einer 
homogenen Differentialgleichung m t6r Ordnung gehörigen Gruppe 
entstehen, bis auf einen allen Elementen je eines Systems gemein 
schaftlichen Factor, von endlicher Anzahl, so besitzt die zu der 
gegebenen adjungirte Differentialgleichung ein Integral, dessen 
Zweige, bis auf constante Factoren, von endlicher Anzahl sind. 
Wenden wir dieses Theorem auf die Gleichung (A.) an unter der Vor 
aussetzung, dass sie die Relation (B.) zulasse, und dass es eine von (0,0,0) 
verschiedene Stelle der RiEMANNschen Fläche (B.) gebe, welche durch die 
Gesammtheit der Substitutionen der zu (A.) gehörigen Gruppe in eine nur 
endliche Anzahl von Stellen derselben Fläche transformirt wird, so ergiebt 
der Satz L, dass die zur Gleichung (A.) adjungirte Differentialgleichung ein 
Integral besitzt, dessen Zweige, bis auf constante Factoren, von endlicher 
Anzahl sind. Da nach Satz I., No. 1, zwischen w l1 w a ,w a eine homogene Re 
lation stattfindet, so folgt aus dem Satze in No. 2, dass die adjungirte Diffe 
rentialgleichung, folglich auch Gleichung (A.) algebraisch integrirbar ist. 
Wir erhalten also das Resultat: 
II. Wenn die Gleichung (A.) die Relation (B.) zulässt, und es 
ist eine von (0,0,0) verschiedene Stelle der RiEMANNSchen Fläche 
(B.) vorhanden von der Beschaffenheit, dass sie durch die Ge- 
478] sammtheit der Substitutionen der zur Gleichung (A.) ge 
hörigen Gruppe nur in eine endliche Anzahl von Stellen der 
selben Fläche übergeführt wird, so ist Gleichung (A.) algebraisch 
integrirb ar.