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BEMERKUNG ZU EINER ABHANDLUNG YON HEFFTER. 
i) Abh. VII, S. 238, Band I dieser Ansgabe. E. F. 
wo A der x te Binomialcoefficient von A und g m = eine von x unabhängige 
Grösse. 
Der Ausdruck h lm wird übereinstimmend mit der linken Seite der zu 
x = co gehörigen determinirenden Fundamentalgleichung, wenn wir A = —s 
setzen und s als Unbekannte dieser Gleichung betrachten. Daher ist \ m = 0 
für A = +r, wenn diese Gleichung die negative ganzzahlige Wurzel s — —r 
besitzt, und umgekehrt, wenn \ m = 0 für A = r, so hat die zu x = oo ge 
hörige determinirende Gleichung die Wurzel —r. 
284] Ist daher — r diejenige negative ganzzahlige Wurzel dieser Gleichung, 
welche den absolut kleinsten Werth besitzt, so ist \ m = 0 für A = r, aber 
nicht Null für A < r. Dann aber ist die Gleichung (ß.) für A = r diejenige 
Gleichung, welcher die r ten Ableitungen der Integrale der Gleichung 
(«.), und nur diese genügen*). Da nun, wenn \ m — 0, die Gleichung (ß.) 
für A = r durch y (r) — C befriedigt wird, wo C eine von Null verschiedene 
Constante, so folgt, dass der Gleichung (a.) durch eine ganze rationale Function 
des Grades r genügt werden kann. Wir erhalten also den Satz: 
Besitzt die zu x — 00 gehörige determinirende Fundamental 
gleichung ganzzahlige negative Wurzeln, und ist —r diejenige 
unter ihnen, deren absoluter Betrag r den kleinsten Werth hat, 
so hat die Gleichung (a.) eine ganze rationale Function r ten Grades 
als Integral. 
Dieser Satz enthält eine Ergänzung des erwähnten Theorems des Herrn 
Heffter. 
Für die Differentialgleichung der GAussschen Beihe 
(«'.) {x 2 — x) y m — [y — {a + ß + 1) x] y' + aßy — 0 
geht die Gleichung (ß.) über in 
(ß\) (x 2 -x)y a+2) -[y + Ä-(cc + ß + 2t+l)x]y a+i) +(Z + cc)ß + ß)y a) = 0. 
Die Wurzeln der zu x — 00 gehörigen determinirenden Gleichung, welche 
für Gleichung («'.) gebildet ist, lauten in diesem Falle «, ß. Wenn nun a 
*) Siehe dieses Journal, Bd. 68, S. 884 x ).